1994-上海-06 填-反函数的求法

本题导读

本题考查反函数的求法，以及反函数的定义域。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷） 函数 $y=\sqrt{x^2-1}$（$x\le -1$）的反函数是 $\underline{}$..

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=\sqrt{x^2-1}$ 解出 $x$。
2. 交换 $x,y$ 并注明定义域。

✅【答案】

Success

$y=-\sqrt{x^2+1}$（$x\ge 0$）

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\sqrt{x^2-1}$（$x\le -1$，$y\ge 0$）得 $x^2=y^2+1$，即 $x=-\sqrt{y^2+1}$。交换 $x,y$ 得反函数 $y=-\sqrt{x^2+1}$，定义域 $x\ge 0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：由 $y=\sqrt{x^2-1}$（$x\le -1$）得 $x=-\sqrt{y^2+1}$，交换得 $y=-\sqrt{x^2+1}$（$x\ge 0$）

避坑指南：解出 $x$ 再交换变量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数

结论推广：一般地，解出 $x$ 交换变量并注明定义域

方法推广：解出 $x$ 再交换变量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-12 填-反函数的求法
• 1995-上海文-15 填-反函数的求法
• 1994-全国卷文-12 单-反函数的图象