1994-全国卷文-12 单-反函数的图象

本题导读

本题考查反函数的图象，以及反函数与原函数图象关于 $y=x$ 对称。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 设函数 $f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le 0$），则函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象是 ()

A. B. C. D.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $f(x)$ 的定义域、值域与图象。
2. 反函数图象关于 $y=x$ 对称，确定其形状。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le 0$）是圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 的左下半部分（$x\le 0$，$y\le 1$），值域 $[0,1]$。反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于 $y=x$ 对称，是圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的下半部分（$0\le x\le 1$，$y\le 0$）。选项 B 符合。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的图象

核心方法：$f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le 0$）的值域 $[0,1]$，反函数为 $y=-\sqrt{1-(x-1{)}^2}$（$0\le x\le 1$），即圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的下半圆，选 B

避坑指南：反函数图象（下半圆）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数

结论推广：一般地，反函数图象关于 $y=x$ 对称

方法推广：反函数图象（下半圆）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-04 填-反函数的求法
• 1999-上海文-02 填-反函数的定义域
• 1996-上海文-12 填-反函数的求法