1991-上海-09 填-对称图象的解析式

本题导读

本题考查利用图象关于直线的对称性求对称区间上的函数解析式。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 设函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，若当 $x⩽1$ 时，$y=x^2+1$，则当 $x>1$ 时，$y=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $x>1$ 时对称点为 $2-x<1$，代入已知解析式。

✅【答案】

Success

$x^2-4x+5$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x>1$ 时，其关于直线 $x=1$ 的对称点为 $2-x<1$。由对称性 $f(x)=f(2-x)=(2-x{)}^2+1=x^2-4x+5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对称图象的解析式

核心方法：利用图象关于 x=1 对称的坐标变换关系求对称区间上的解析式。

避坑指南：对称变换

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象对称是函数解析式的几何意义。

结论推广：f(x) 关于 x=a 对称 ⟺ f(x)=f(2a−x)。

方法推广：用对称点坐标代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-09 单-分式函数的反函数
• 1992-全国文-16 单-双曲函数的反函数
• 1994-全国卷文-12 单-反函数的图象