1991-全国文-09 单-分式函数的反函数

本题导读

本题考查分式函数的反函数，以及反解自变量的方法。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 已知函数 $y=\frac{6x+5}{x-1}$（$x\in \mathbf{R}$，$x\ne 1$），那么它的反函数为 ()

A. $y=\frac{6x+5}{x-1}$（$x\ne 1$）　 B. $y=\frac{x+5}{x-6}$（$x\ne 6$）　

C. $y=\frac{x-1}{6x+5}$（$x\ne -\frac{5}{6}$）　D. $y=\frac{x-6}{x+5}$（$x\ne -5$）

🔍【思路分析】

破题导航

由 $y=\frac{6x+5}{x-1}$ 反解 $x=\frac{y+5}{y-6}$，交换 $x,y$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{6x+5}{x-1}$ 得 $x(y-6)=y+5$。因原函数值域不含 $6$，故 $y\ne 6$，$x=\frac{y+5}{y-6}$。交换 $x,y$ 得反函数 $y=\frac{x+5}{x-6}$（$x\in \mathbf{R}$，$x\ne 6$）。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式函数的反函数

核心方法：$y=\frac{6x+5}{x-1}$ 值域不含 6，反解 $x=\frac{y+5}{y-6}$，交换得 $y=\frac{x+5}{x-6}$

避坑指南：反解交换求反函数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式函数的反函数

结论推广：反解 $x$ 后交换 $x,y$

方法推广：反解交换法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1994-上海-06 填-反函数的求法
• 1996-上海文-12 填-反函数的求法
• 1993-新高考文-21 填-反函数值的求法