1995-上海文-15 填-反函数的求法

本题导读

本题考查反函数的求法，以及由原函数解出 $x$ 后交换变量。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） 函数 $y=3x^2+1$（$x\le 0$）的反函数是 $y=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=3x^2+1$（$x\le 0$）解出 $x$。
2. 交换 $x$、$y$ 得反函数并注明定义域。

✅【答案】

Success

$-\sqrt{\frac{x-1}{3}}$（$x\ge 1$）

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=3x^2+1$（$x\le 0$）得 $x^2=\frac{y-1}{3}$。因 $x\le 0$，故 $x=-\sqrt{\frac{y-1}{3}}$。交换 $x$、$y$，得反函数 $y=-\sqrt{\frac{x-1}{3}}$，定义域为 $x\ge 1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：$y=3x^2+1$（$x\le 0$）解出 $x=-\sqrt{\frac{y-1}{3}}$，交换得反函数 $y=-\sqrt{\frac{x-1}{3}}$（$x\ge 1$）

避坑指南：解出 $x$ 再交换变量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数

结论推广：一般地，由原函数解出 $x$，交换 $x,y$ 得反函数并注明定义域

方法推广：解出 $x$ 再交换变量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-04 填-反函数的求法
• 1999-上海文-02 填-反函数的定义域
• 1996-上海文-12 填-反函数的求法