1993-上海-22 解-复数的运算与模

本题导读

本题考查复数的运算与模。核心在于复数四则运算后由条件定参数再求模。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 已知 $z=\frac{a-i}{1-i}$，其中 $i$ 为虚数单位，$a>0$，复数 $w=z(z+i)$ 的虚部减去它的实部所得的差等于 $\frac{3}{2}$，求复数 $w$ 的模.

🔍【思路分析】

破题导航

$w=\frac{a-i}{1-i}\left(\frac{a-i}{1-i}+i\right)=\frac{a+1}{2}(1+ai)$，虚部减实部 $=\frac{a+1}{2}(a-1)=\frac{3}{2}$ 得 $a=2$。

✅【答案】

Success

$\frac{3\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$w=\frac{a-i}{1-i}\left(\frac{a-i}{1-i}+i\right)=\frac{a-i}{1-i}\cdot \frac{a-i+i(1-i)}{1-i}=\frac{(a-i)(a+1)}{(1-i{)}^2}$。因 $(1-i{)}^2=-2i$，且 $(a-i)(a+1)=(a+1)a-(a+1)i$，故 $w=\frac{a+1}{2}\cdot \frac{a-i}{-i}=\frac{a+1}{2}\cdot (1+ai)$。于是 $w$ 的实部为 $\frac{a+1}{2}$，虚部为 $\frac{a+1}{2}a$。由条件虚部减实部 $=\frac{3}{2}$：$\frac{a+1}{2}a-\frac{a+1}{2}=\frac{3}{2}$，即 $\frac{(a+1)(a-1)}{2}=\frac{3}{2}$，$a^2-1=3$，$a^2=4$。因 $a>0$，$a=2$。于是 $w=\frac{3}{2}(1+2i)=\frac{3}{2}+3i$，$|w|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+3^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+9}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的运算与模

核心方法：$w=\frac{a-i}{1-i}\left(\frac{a-i}{1-i}+i\right)=\frac{a+1}{2}(1+ai)$，虚部减实部 $=\frac{a+1}{2}(a-1)=\frac{3}{2}$ 得 $a=2$，$|w|=\frac{3\sqrt{5}}{2}$

避坑指南：复数四则运算后由条件定参数再求模

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数运算

结论推广：复数四则运算求 $w$，条件定参数

方法推广：实部虚部分别计算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1994-上海-22 解-复数的辐角主值与实数条件
• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件
• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角