1992-上海-04 填-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的求解，以及对数运算法则与换底。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 方程 ${\log }_5(x+1)-{\log }_{\frac{1}{5}}(x-3)=1$ 的解是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

${\log }_{\frac{1}{5}}(x-3)=-{\log }_5(x-3)$，合并后解一元二次方程。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

${\log }_{\frac{1}{5}}(x-3)=-{\log }_5(x-3)$，原方程化为 ${\log }_5(x+1)+{\log }_5(x-3)=1$，即 ${\log }_5[(x+1)(x-3)]=1$，故 $x^2-2x-3=5$，$x^2-2x-8=0$，得 $x=4$ 或 $x=-2$。由真数为正 $x>3$，舍 $-2$，故 $x=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的求解

核心方法：${\log }_5(x+1)+{\log }_5(x-3)=1$，$x^2-2x-3=5$，$x=4$

避坑指南：对数合并解方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数方程的求解

结论推广：${\log }_{\frac{1}{5}}(x-3)=-{\log }_5(x-3)$ 统一底数

方法推广：对数运算法则合并

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-25 解-对数方程的求解
• 1994-上海-04 填-对数方程的求解
• 1996-上海文-09 填-对数方程的求解