1992-上海-02 填-二项式展开指定项系数

本题导读

本题考查二项式展开指定项系数，以及二项式通项公式。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ 的展开式中 $\frac{1}{x^2}$ 的系数是$\underline{}$（结果用数值表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

通项 $T_{k+1}=C_8^k{x}^{8-k}\cdot x^{-k}=C_8^k{x}^{8-2k}$，令 $8-2k=-2$ 得 $k=5$。

✅【答案】

Success

$56$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}=C_8^k{x}^{8-k}\cdot x^{-k}=C_8^k{x}^{8-2k}$。令 $8-2k=-2$，得 $k=5$。故 $\frac{1}{x^2}$ 的系数为 $C_8^5=C_8^3=56$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开指定项系数

核心方法：通项 $T_{k+1}=C_8^k{x}^{8-k}{x}^{-k}=C_8^k{x}^{8-2k}$，令 $8-2k=-2$ 得 $k=5$，系数 $C_8^5=56$

避坑指南：二项式通项定指数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式展开指定项系数

结论推广：${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ 通项 $C_8^k{x}^{8-2k}$

方法推广：通项令指数相等

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-04 单-二项式展开的常数项
• 1996-上海理-14 填-二项式展开式的系数
• 1995-全国卷文-12 单-二项式展开式的指定项系数