1992-三南-01 单-复数辐角主值

本题导读

本题考查复数的辐角主值，以及复数化为代数形式后判断所在象限。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 设函数 $z=i^2+\sqrt{3}i$，那么 $\arg z$ 是 ()

A. $\frac{5\pi }{6}$　　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　　　D. $-\frac{4\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

$i^2=-1$，故 $z=-1+\sqrt{3}i$ 在第二象限，$\tan (\arg z)=-\sqrt{3}$，主值 $\arg z=\frac{2\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $i^2=-1$ 得 $z=-1+\sqrt{3}i$，实部为负、虚部为正，故 $z$ 位于第二象限。$\tan (\arg z)=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$，又辐角主值在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 内，故 $\arg z=\frac{2\pi }{3}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数辐角主值

核心方法：$z=i^2+\sqrt{3}i=-1+\sqrt{3}i$ 在第二象限，$\arg z=\frac{2}{3}\pi$

避坑指南：复数化为代数形式定象限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数辐角主值的基础题，2002 新课标文第 1 题同源

结论推广：$i^2=-1$ 化代数形式，落在坐标轴象限定主值

方法推广：象限判断法

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1993-上海-03 填-复数的辐角主值
• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件
• 1994-上海-22 解-复数的辐角主值与实数条件