1991-上海-25 解-复数的辐角与轨迹

本题导读

本题考查复数辐角的求法与复数运算的几何意义。核心在于由模条件求 $r$ 与 $\theta$ 的关系，并判断轨迹。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） (1) 设复数 $z$ 的辐角为 $\theta$（$0⩽\theta <\pi$），且满足等式 $|z-\mathrm{i}|=1$，求复数 $z^2-z\mathrm{i}$ 的辐角（用含 $\theta$ 的式子表示），其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位；

(2) 设复数 $z$ 满足等式 $|z-\mathrm{i}|=1$，且 $z\ne 0$，$z\ne 2\mathrm{i}$.又复数 $\omega$ 使得 $\frac{\omega }{\omega -2\mathrm{i}}\cdot \frac{z-2\mathrm{i}}{z}$ 为实数.问复数 $\omega$ 在复平面上所对应的点 $Z$ 的集合是什么图形，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 设 $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$，由模条件求 $r=2\sin \theta$，再求 $z^2-z\mathrm{i}=z(z-\mathrm{i})$ 的辐角；(2) 由实部为零导出 $\omega$ 满足的圆方程。

✅【答案】

Success

(1) $\left(3\theta -\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）；(2)以 $(0,1)$ 为圆心、$1$ 为半径的圆，除去点 $(0,2)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$。由 $|z-\mathrm{i}|=1$ 得 $(r\cos \theta {)}^2+(r\sin \theta -1{)}^2=1$，即 $r^2-2r\sin \theta =0$，故 $r=2\sin \theta$（$0<\theta <\pi$）。于是 $z^2-z\mathrm{i}=z(z-\mathrm{i})=2\sin \theta \left[\cos \left(3\theta -\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(3\theta -\frac{\pi }{2}\right)\right]$，辐角为 $\left(3\theta -\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi$。（2）设 $z=a+b\mathrm{i}$、$\omega =x+y\mathrm{i}$。由 $|z-\mathrm{i}|=1$ 得 $a^2+b^2-2b=0$。由 $\frac{\omega }{\omega -2\mathrm{i}}\cdot \frac{z-2\mathrm{i}}{z}$ 为实数得虚部为 0，计算得 $a(x^2+y^2-2y)=0$，因 $z\ne 0,2\mathrm{i}$ 故 $a\ne 0$，于是 $x^2+(y-1{)}^2=1$，即 $\omega$ 对应点 $Z$ 在以 $(0,1)$ 为圆心、$1$ 为半径的圆上（除去点 $(0,2)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角与轨迹

核心方法：由模条件求 r 与 θ 的关系，利用复数乘除的几何意义定轨迹。

避坑指南：复数几何意义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数乘除的几何意义是旋转与伸缩。

结论推广：|z−i|=1 是圆心 (0,1) 的单位圆。

方法推广：用模的几何意义

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围
• 1991-全国文-22 解-复数的模与辐角
• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件