1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法

本题导读

本题考查空间角（线面角、线线角、二面角）的求法。核心在于利用面面垂直性质与三垂线定理找射影与平面角。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 如图，设 $△ABC$ 和 $△DBC$ 所在的两平面互相垂直，且 $AB=BC=BD$，$\angle CBA=\angle DBC=120^{\circ }$.求

(1) $A$、$D$ 的连线和平面 $BCD$ 所成的角；

(2) $A$、$D$ 的连线和直线 $BC$ 所成的角；

(3) 二面角 $A-BD-C$ 的大小（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 过 A 作 BC 垂线找射影求线面角；(2) 由三垂线定理判断线线垂直；(3) 作二面角平面角求其补角。

✅【答案】

Success

(1) $45^{\circ }$；(2)$90^{\circ }$；(3)$\pi -\arctan 2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）连 $A$、$D$，过 $A$ 在平面 $ABC$ 内作 $BC$ 的垂线交 $CB$ 延长线于 $H$，连 $HD$。由面面垂直得 $AH\perp$ 平面 $BCD$，$HD$ 是 $AD$ 在平面 $BCD$ 内的射影，$\angle ADH$ 即线面角。由 $△AHB\cong △DHB$ 得 $AH=DH$，故 $\angle ADH=45^{\circ }$。（2）$HD$ 是 $AD$ 射影且 $BC\perp HD$，由三垂线定理 $AD\perp BC$，夹角 $90^{\circ }$。（3）在平面 $BCD$ 内过 $H$ 作 $HR\perp BD$ 于 $R$，连 $AR$，由三垂线定理 $AR\perp BD$，$\angle ARH$ 是二面角平面角的补角。设 $BC=a$，得 $AH=DH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$HB=\frac{1}{2}a$，$HR=\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$\tan \angle ARH=\frac{AH}{HR}=2$，故二面角 $A-BD-C=\pi -\arctan 2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角与二面角的求法

核心方法：利用面面垂直性质与三垂线定理求线面角、线线角、二面角。

避坑指南：三垂线定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间角需用射影与三垂线定理。

结论推广：线面角是斜线与射影所成的角。

方法推广：正确找射影

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

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