本题导读
本题考查空间图形的折叠问题，以及二面角的平面角概念。
📌【题干】
Question
（1993年新高考(理)） 如图， 是正方形， 是 的中点，如将 和 分别沿虚线 和 折起，使 与 重合，记 与 重合的点为 ，则面 与面 所成的二面角为度.
🔍【思路分析】
破题导航
分析折叠前的结构：设正方形边长为 ，则 ，。在 与 中，，从而 。 分析折叠后的结构：折叠后 重合为 ，由于 与 长度相等且重合，有 。同时 ，。 作二面角的平面角：
- 取 的中点 ，连接 和 。
- 因为 是以 的等腰三角形，所以 。
- 因为 是以 的等腰三角形，所以 。
- 故 即为面 与面 所成二面角的平面角。 解三角形：在 中，求出三边 的长度，利用余弦定理求出 。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
不妨设正方形 的边长为 。 因为 是 的中点，所以 。 在 Rt 中，。同理 。
折叠成四面体 后，有：
取 的中点 ，连接 和 。
- 在等腰 中，， 为底边中点，故 。 在 Rt 中，，由勾股定理得：
- 在等腰 中，， 为底边中点，故 。 在 Rt 中，，由勾股定理得：
因为 且 ，所以 为二面角 的平面角。
在 中，已知三边长 ，，。 因为：
根据勾股定理的逆定理可知， 是以 的直角三角形。 在 Rt 中：
因为 为三角形内角，所以：
答案： 30
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：立体几何折叠问题、二面角平面角的建构与计算。 核心方法：利用等腰三角形“三线合一”的性质，通过棱的中点快速作出二面角的平面角，再放入平面三角形中进行定量求解。 避坑指南：
- 折叠问题中最容易混淆“变量”与“不变量”。折叠后 和 内部的边长、角度是不变的（如 ），但是它们与底面 的相对位置（空间角度）发生了改变。
- 部分学生容易盲目猜测 的形状，在无法直接看出垂直时，应严格通过三边长度利用余弦定理计算。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于典型的由平面网格或平面几何图形折叠为空间几何体的立体几何题。此类问题在 90 年代高考试卷中频繁作为填空或大题出现。 结论推广：若将本题推广，当 在平面 上的射影为 时，可通过射影面积公式 快速求解。本题中 ，而通过计算可得射影对应的底面高，从而亦可验证二面角。
🔗【关联脉络】
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