1990-全国文-18 填-等差数列与数列极限

本题导读

本题考查等差数列通项与前 n 项和，以及数列极限的计算。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，如果 $S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项的和，那么 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{a}_n}{S_n}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设公差 d，写出 aₙ 与 Sₙ，求比值极限。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

设公差 $d\ne 0$，则 $a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。$\frac{n{a}_n}{S_n}=\frac{n[a_1+(n-1)d]}{n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d}=\frac{a_1+(n-1)d}{a_1+\frac{n-1}{2}d}\to \frac{d}{d/2}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与数列极限

核心方法：用等差数列通项与前 n 项和求极限。

避坑指南：数列极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限用通项与前 n 项和的关系。

结论推广：aₙ=a₁+(n−1)d。

方法推广：求 n·aₙ/Sₙ 极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1991-三南-22 填-数列的极限
• 1991-全国文-12 单-连乘式数列的极限
• 1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限