1990-广东理-28 填-等差数列与数列极限

本题导读

本题考查等差数列通项与前 n 项和的极限，以及基本量运算。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，如果 $S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，那么 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{a}_n}{S_n}=$　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，求比值极限。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

设公差 $d\ne 0$，$a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。$\frac{n{a}_n}{S_n}=\frac{n{a}_n}{n(a_1+a_n)/2}=\frac{2a_n}{a_1+a_n}=\frac{2[a_1+(n-1)d]}{2a_1+(n-1)d}$。当 $n\to \infty$ 时，$\frac{2[a_1+(n-1)d]}{2a_1+(n-1)d}\to \frac{2(n-1)d}{(n-1)d}=2$。故极限为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与数列极限

核心方法：等差数列通项与前n项和求极限。

避坑指南：数列极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列极限。

结论推广：naₙ/Sₙ 的极限。

方法推广：通项与前n项和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-18 填-等差数列与数列极限
• 1991-三南-22 填-数列的极限
• 1991-全国文-12 单-连乘式数列的极限