1989-广东文-29 填-数列极限

本题导读

本题考查数列的极限，先求和再取极限。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\cdots +\frac{n}{n^2+1}\right)$ 的值是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子 $\frac{n(n+1)}{2}$，除以 $n^2+1$ 取极限。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

原式 $=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+2+\cdots +n}{n^2+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n+1)/2}{n^2+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+n}{2n^2+2}=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限

核心方法：${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\cdots +\frac{n}{n^2+1}\right)$。

避坑指南：分子为 $\frac{n(n+1)}{2}$，除以 $n^2+1$ 取极限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限。

结论推广：求和取极限。

方法推广：等差数列和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-28 填-等比数列与数列极限
• 1990-广东理-28 填-等差数列与数列极限
• 1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限