1988-广东理-29 填-数列的极限

本题导读

本题考查交错数列的极限，分子相邻两项配对求和。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-2+3-4+\cdots +(2n-1)-2n}{(n-1)\left(\frac{1}{n}+1\right)}$ 的值是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子相邻两项和为 $-1$，共 $n$ 对，故分子 $=-n$；分母 $\to 1$。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

分子 $=(1-2)+(3-4)+\cdots +[(2n-1)-2n]=(-1)\cdot n=-n$。分母 $(n-1)(\frac{1}{n}+1)=(n-1)\cdot \frac{n+1}{n}=\frac{n^2-1}{n}$。故原式 $={\lim }_{n\to \infty }\frac{-n}{(n^2-1)/n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{-n^2}{n^2-1}=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的极限

核心方法：$\lim \frac{1-2+3-4+\cdots +(2n-1)-2n}{(n-1)(\frac{1}{n}+1)}$，分子 $=-n$，分母 $\to 1$，极限 $-1$。

避坑指南：分子相邻两项和为 $-1$，共 $n$ 对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限。

结论推广：相邻两项配对。

方法推广：分子 $-n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 1990-广东理-28 填-等差数列与数列极限
• 1989-上海-09 填-数列极限的计算