1989-上海-09 填-数列极限的计算

本题导读

本题考查等差数列求和后求极限。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{4}{n^2}+\frac{7}{n^2}+\cdots +\frac{3n-2}{n^2}\right)=$　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子是等差数列求和，再求极限。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

分子 $1+4+7+\cdots +(3n-2)=\frac{n(1+3n-2)}{2}=\frac{n(3n-1)}{2}$。故原式 $=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(3n-1)/2}{n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n-1}{2n}=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限的计算

核心方法：等差数列求和后求极限。

避坑指南：数列极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列求和极限。

结论推广：(1+4+7+…+3n−2)/n²。

方法推广：求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1991-三南-22 填-数列的极限
• 1991-全国文-12 单-连乘式数列的极限
• 1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限