1986-上海文-24 填-数列极限

本题导读

本题考查数列的极限，核心在于先求前 $n$ 项和再取极限。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(文)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+3+5+\cdots +(2n-1)}{n(n+1)}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子是前 $n$ 个奇数之和 $n^2$，再同除 $n^2$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

分子 $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$，故 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2}{n(n+1)}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2}{n^2+n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限

核心方法：分子 $=n^2$，$\lim \frac{n^2}{n(n+1)}=1$。

避坑指南：同除 $n^2$，极限 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限。

结论推广：先求和再取极限。

方法推广：抓大放小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-06 填-数列极限
• 1989-上海-09 填-数列极限的计算