1986-广东理-33 填-数列极限

本题导读

本题考查数列的极限。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子有理化。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to \frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限

核心方法：$\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$。

避坑指南：$\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限。

结论推广：分子有理化。

方法推广：抓大放小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-06 填-数列极限
• 1989-上海-09 填-数列极限的计算