1988-上海-28 解-双曲线与等差数列

本题导读

本题考查双曲线与等差数列。核心在于用双曲线定义求 $y_1+y_2$、证垂直平分线过定点。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 在双曲线 $\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{13}=1$ 的一支上不同的三点 $A(x_1,y_1)$，$B(\sqrt{26},6)$，$C(x_2,y_2)$ 与焦点 $F(0,5)$ 的距离成等差数列.

(1)求 $y_1+y_2$；

(2)证明线段 $AC$ 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）用双曲线定义求 $|AF|,|CF|$；（2）垂直平分线方程，利用对称性证过 $y$ 轴定点。

✅【答案】

Success

(1)$y_1+y_2=12$；(2)定点 $\left(0,\frac{25}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）双曲线实半轴 $a=2\sqrt{3}$，半焦距 $c=5$。由定义 $|AF|=\frac{c}{a}{y}_1-a=\frac{5\sqrt{3}}{6}{y}_1-2\sqrt{3}$，同理 $|CF|=\frac{5\sqrt{3}}{6}{y}_2-2\sqrt{3}$。$|BF|=\sqrt{(\sqrt{26}{)}^2+(6-5{)}^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。因 $|AF|,|BF|,|CF|$ 成等差数列，$|AF|+|CF|=2|BF|=6\sqrt{3}$，即 $\frac{5\sqrt{3}}{6}(y_1+y_2)-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，解得 $y_1+y_2=12$。 （2）线段 $AC$ 中点 $(\frac{x_1+x_2}{2},6)$，垂直平分线 $l$ 的方程 $y-6=-\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}(x-\frac{x_1+x_2}{2})$。由双曲线一支关于 $y$ 轴对称，定点必在 $y$ 轴上。设与 $y$ 轴交点 $D(0,y_0)$，则 $y_0-6=\frac{x_1^2-x_2^2}{2(y_1-y_2)}$。因 $A,C$ 在双曲线上，$x_1^2=\frac{13}{12}(y_1^2-12)$，$x_2^2=\frac{13}{12}(y_2^2-12)$，故 $x_1^2-x_2^2=\frac{13}{12}(y_1+y_2)(y_1-y_2)=13(y_1-y_2)$，$y_0-6=\frac{13}{2}$，$y_0=\frac{25}{2}$。定点为 $(0,\frac{25}{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线与等差数列

核心方法：双曲线焦点弦成等差数列。

避坑指南：双曲线定义 + 垂直平分线过定点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线。

结论推广：定义。

方法推广：定点问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1991-三南-29 解-双曲线方程的求法
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系
• 1992-上海-26 解-双曲线与抛物线综合