1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法

本题导读

本题考查数列的递推关系与数学归纳法证明。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$，其中 $a_n=\cos n\alpha$（$0<\alpha <\pi$）.

(1)试用 $a_{n-1}$，$a_{n-2}$ 表示 $a_n$；

(2)用数学归纳法证明 $a_1+a_2+\cdots +a_n=\frac{\sin \frac{n\alpha }{2}\cos \frac{n+1}{2}\alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}}$；

(3)求和 $a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots +(-1{)}^{k+1}{a}_k+\cdots -a_{2n}+a_{2n+1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)和差化积；(2)数学归纳法；(3)拆偶奇项。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=2a_{n-1}\cos \alpha -a_{n-2}$

(2) 见解析

(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)$a_n+a_{n-2}=\cos n\alpha +\cos (n-2)\alpha =2\cos (n-1)\alpha \cos \alpha =2a_{n-1}\cos \alpha$，故 $a_n=2a_{n-1}\cos \alpha -a_{n-2}$。 (2)$n=1$：左 $=\cos \alpha$，右 $=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}\cos \alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}}=\cos \alpha$，成立。假设 $n=k$ 成立，则 $a_1+\cdots +a_k+a_{k+1}=\frac{\sin \frac{k\alpha }{2}\cos \frac{k+1}{2}\alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}}+\cos (k+1)\alpha =\frac{\sin \frac{k\alpha }{2}\cos \frac{k+1}{2}\alpha +\sin \frac{\alpha }{2}\cos (k+1)\alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}}$，用和差化积 $=\frac{\sin \frac{k+1}{2}\alpha \cos \frac{k+2}{2}\alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}}$。故 $n=k+1$ 成立。 (3)$a_1-a_2+\cdots -a_{2n}+a_{2n+1}=(a_1+\cdots +a_{2n+1})-2(a_2+a_4+\cdots +a_{2n})$，用(2)及 $a_2+\cdots +a_{2n}$ 的求和，得 $\frac{\cos (n+1)\alpha \cos \frac{2n+1}{2}\alpha }{\cos \frac{\alpha }{2}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列与数学归纳法

核心方法：$a_n=2a_{n-1}\cos \alpha -a_{n-2}$，数学归纳法求和。

避坑指南：$\cos (n+1)\alpha \cos \frac{2n+1}{2}\alpha /\cos \frac{\alpha }{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数学归纳法。

结论推广：递推表示。

方法推广：三步证明。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-20 解-数列的通项与极限
• 1988-广东文-33 解-数列的前n项和与三角