1988-广东文-33 解-数列的前n项和与三角

本题导读

本题考查由前 $n$ 项和求通项、等差数列的判定与三角降幂综合。核心在于分 $c\ne 0$ 与 $c=0$ 讨论并结合 ${\cos }^{2}x$ 降幂。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{\pi }{3}{n}^2+c$，式中 $c$ 是常数，$n=1,2,\cdots$.

(1)如果 $c\ne 0$，求证：$\{a_n\}$ 不是等差数列；

(2)如果 $c=0$，求证：对任意大于 $1$ 的自然数 $n$，和数 ${\cos }^2(a_{n-1})+{\cos }^2(a_n)+{\cos }^2(a_{n+1})$ 是一个与 $n$ 无关的常数，并求出这个常数值.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$a_1=S_1=\frac{\pi }{3}+c$，$n\ge 2$ 时 $a_n=\frac{\pi }{3}(2n-1)$，$a_2-a_1=\frac{2\pi }{3}-c\ne \frac{2\pi }{3}=a_3-a_2$；（2）$c=0$ 时 $a_n=\frac{\pi }{3}(2n-1)$ 为等差，公差 $\frac{2\pi }{3}$，降幂展开消去 $\sin$ 项得 $\frac{3}{2}$。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)常数为 $\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_1=S_1=\frac{\pi }{3}+c$。当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{\pi }{3}(2n-1)$。故 $a_2-a_1=\pi -(\frac{\pi }{3}+c)=\frac{2\pi }{3}-c$，而 $a_3-a_2=\frac{2\pi }{3}$。由 $c\ne 0$ 得 $a_2-a_1\ne a_3-a_2$，故 $\{a_n\}$ 不是等差数列。 （2）$c=0$ 时 $a_1=\frac{\pi }{3}$，且对任意 $n$ 有 $a_n=\frac{\pi }{3}(2n-1)$，数列为公差 $\frac{2\pi }{3}$ 的等差数列，故 $a_{n-1}=a_n-\frac{2\pi }{3}$，$a_{n+1}=a_n+\frac{2\pi }{3}$。$\cos (a_n\pm \frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}\cos a_n\mp \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a_n$。故 ${\cos }^2{a}_{n-1}+{\cos }^2{a}_n+{\cos }^2{a}_{n+1}={\left(-\frac{1}{2}\cos a_n+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a_n\right)}^2+{\cos }^2{a}_n+{\left(-\frac{1}{2}\cos a_n-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a_n\right)}^2=\frac{3}{2}{\cos }^2{a}_n+\frac{3}{2}{\sin }^2{a}_n=\frac{3}{2}$，与 $n$ 无关，常数为 $\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的前n项和与三角

核心方法：$S_n=\frac{\pi }{3}{n}^2+c$，$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{\pi }{3}(2n-1)$（$n\ge 2$）；$c\ne 0$ 时 $a_2-a_1\ne a_3-a_2$；$c=0$ 时 ${\cos }^2{a}_{n-1}+{\cos }^2{a}_n+{\cos }^2{a}_{n+1}=\frac{3}{2}$。

避坑指南：$a_1=S_1=\frac{\pi }{3}+c$ 单独验证；${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：前n项和与三角。

结论推广：$a_n=S_n-S_{n-1}$。

方法推广：降幂。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-34 解-等差数列与三角函数综合
• 1989-广东文-31 解-等差数列与等比数列
• 1991-三南-28 解-等差等比数列通项综合