1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省

本题导读

本题考查圆柱表面积的最值。核心在于用导数求表面积关于半径的最小值。

📌【题干】

Question

（1977年辽宁卷） 某生产队要建造一个已知体积为 $V$ 的有盖圆柱形氨水池，问这个氨水池的高 $h$ 和底面半径 $r$ 取多大时，用料最省？

🔍【思路分析】

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表面积 $S=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$，求导求最小值。

✅【答案】

Success

$h=2r$，$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$

✍【详细解析】

Abstract

表面积 $S=2\pi r^2+2\pi rh$，由 $V=\pi r^{2}h$ 得 $h=\frac{V}{\pi r^2}$，故 $S(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$。$S^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}$，令 $S^{\prime }=0$ 得 $r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$，此时 $h=\frac{V}{\pi r^2}=2r$。即高等于底面直径时用料最省。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱用料最省

核心方法：导数求最值

避坑指南：表面积关于 $r$ 求导，$h=2r$ 时最小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最省

结论推广：$h=2r$

方法推广：导数求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-22 解-导数与切线极值
• 1985-上海文-10 填-旋转体的体积