1993-旧高考理-14 单-圆柱体积的最值

本题导读

本题考查圆柱的轴截面与体积公式，以及函数的基本最值问题。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 如果圆柱轴截面的周长 $l$ 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ()

A. ${\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi$　　　B. ${\left(\frac{l}{3}\right)}^3\pi$　　　　C. ${\left(\frac{l}{4}\right)}^3\pi$　　　　D. $\frac{1}{4}{\left(\frac{l}{4}\right)}^3\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

几何条件代数化：设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$。

• 轴截面是一个长为 $2r$、宽为 $h$ 的矩形，其周长 $l=2(2r+h)=4r+2h$；
• 圆柱的体积目标公式为 $V=\pi r^{2}h$。 消元构建一元最值：由周长公式变形得到 $h=\frac{l-4r}{2}$，代入体积公式消除变量 $h$。 利用均值不等式最值化简：体积表达式中含有因式 $r\cdot r\cdot h$。若直接相加无法消去变量 $r$。必须对因式进行配系数，使各正项之和恰好等于常数 $4r+2h=l$。 求出极值常数：利用 ${\left(\frac{A+B+C}{3}\right)}^3\ge A\cdot B\cdot C$ 锁解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$ ($r>0,h>0$)。

圆柱的轴截面是通过圆柱轴线的截面，它是一个矩形，其中一组对边长为底面直径 $2r$，另一组对边长为圆柱的高 $h$。 根据周长定义： l = 2(2r + h) \implies 4r + 2h = l \tag{1}

圆柱的体积公式为： V = \pi r^2 h \tag{2}

为了利用均值不等式求 $r^{2}h$ 的最大值，我们需要将各项进行合理拆分，使得求和时各项的 $r$ 与 $h$ 能够与 (1) 式中的系数 $4r+2h$ 相契合。 将 $4r+2h$ 改写为三个正项之和： $2r+2r+2h=l$

根据三元均值不等式 $\frac{A+B+C}{3}\ge \sqrt[3]{A\cdot B\cdot C}$，当且仅当 $A=B=C$ 时取等号。 令 $A=2r,B=2r,C=2h$，代入可得： $\frac{2r+2r+2h}{3}\ge \sqrt[3]{2r\cdot 2r\cdot 2h}$ $\frac{l}{3}\ge \sqrt[3]{8r^{2}h}$

两边同时进行三次方幂运算： ${\left(\frac{l}{3}\right)}^3\ge 8r^{2}h⟹r^{2}h\le \frac{1}{8}{\left(\frac{l}{3}\right)}^3$

将此范围代入圆柱的体积公式 (2) 中： $V=\pi r^{2}h\le \frac{\pi }{8}{\left(\frac{l}{3}\right)}^3=\frac{\pi }{8}\times \frac{l^3}{27}=\frac{\pi l^3}{216}$

我们将得到的最大值结果 $\frac{\pi l^3}{216}$ 与四个选项进行形式比对：

• A 项： ${\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi =\frac{l^3}{216}\pi$，完全一致。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱轴截面的矩形几何特征，利用均值不等式（或导数）解决积型高次式最值的技巧。 核心方法：均值不等式配系数法。在应用均值不等式求最大值时，务必满足“一正、二定、三相等”的法则。本题中通过将 $4r$ 拆成 $2r+2r$，使得相乘时出现的 $r^{2}h$ 与体积公式同构，而相加时又能直接消元化为定值 $l$。 避坑指南： - 轴截面的周长极易错记为 $2\pi r+h$ 或是 $2r+2h$。必须牢记其几何图形是边长为 $2r$ 和 $h$ 的标准矩形。 - 若不熟练拆项，可选择导数法：由 $2h=l-4r⟹h=\frac{l}{2}-2r$，代入 $V(r)=\pi r^2\left(\frac{l}{2}-2r\right)=\frac{\pi l}{2}{r}^2-2\pi r^3$。求导得 $V^{\prime }(r)=\pi lr-6\pi r^2=0⟹r=\frac{l}{6}$。代入原式计算同样可得最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于立体几何与代数不等式应用题的传统压轴级选择题。取材于必修教材中关于“基本不等式在几何最值中的应用”的课后核心演练题。 结论推广：对于所有轴截面周长为定值 $l$ 的圆柱体，其体积达到极大值时的最佳空间几何构型恒满足：底面直径等于高（即 $2r=h$，称为等边圆柱）。此时其体积的最大值固定为 ${\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积