1977-山东B-11 解-隧道断面最值

本题导读

本题考查组合图形的最值设计。核心在于由周长 $23$ 米分配得 $y=11-2.5x$，断面面积 $S=-3.5x^2+21x+0.5$，顶点 $x=3$ 处最大 $32$ 平方米。

📌【题干】

Question

（1977年山东B卷） 某隧道的横断面如图所示，已知隧道横断面的周长为 $23$ 米，试根据图所示尺寸，求： (1)当 $x$ 和 $y$ 为何值时，隧道的横断面面积最大？

(2)最大面积是多少？

（取 $\pi \approx 3$）（图尺寸单位：米）

🔍【思路分析】

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周长：半圆弧 $3x$ + 两竖边 $2y$ + 底部两段 $2x$ + 两小段 $0.5\times 2$，故 $y=(23-3x-1-2x)/2=11-2.5x$；面积 $=$ 半圆 $\frac{3x^2}{2}$ $+$ 矩形 $2xy$ $-$ 底部凹槽 $(2x-1)\times 0.5$，代入配顶点。

✅【答案】

Success

(1)$x=3$，$y=3.5$ 时断面面积最大(2)最大面积为 $32$ 平方米

✍【详细解析】

Abstract

(1)设半圆的半径为 $x$ 米，隧道横断面面积为 $S$ 平方米。 则 $y\approx \frac{23-3x-0.5\times 2-2x}{2}=(11-2.5x)$ 米。 $S\approx \frac{3x^2}{2}+2x(11-2.5x)-(2x-1)\times 0.5=-3.5x^2+21x+0.5$。 因为 $-3.5<0$，所以当 $x=-\frac{21}{2\times (-3.5)}=3$ 时，$S$ 有最大值。 当 $x=3$ 时，$y=11-2.5\times 3=3.5$ 米。 (2)$S_{\max }=\frac{4\times (-3.5)\times 0.5-21^2}{4\times (-3.5)}=32$ 平方米。 答：当半圆的半径为 $x=3$ 米，$y=3.5$ 米时隧道的横断面面积最大，最大面积为 $32$ 平方米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：隧道断面最值

核心方法：周长定宽+面积配顶点

避坑指南：$y=11-2.5x$，$S=-3.5x^2+21x+0.5$，顶点 $x=3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最值

结论推广：$x=3$，$y=3.5$；$S_{\max }=32$ 平方米

方法推广：周长分配先理清

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积