1977-云南-08 解-圆柱用料最省

本题导读

本题考查圆柱体在体积定值下用料最省（参考题）。核心在于由体积定值消去 $h$，用导数求驻点或用三元均值不等式求最小值。

📌【题干】

Question

（1977年云南卷） 某生产队要建造一个体积为 50 立方米的有盖圆柱形氨水池，问氨水池的高和底半径取多大时用料最省（即表面积最小）？

🔍【思路分析】

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体积 $\pi r^{2}h=50$ 得 $h=\frac{50}{\pi r^2}$；表面积 $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{100}{r}$，令 $S^{\prime }=0$ 或三元均值不等式求最小值。

✅【答案】

Success

高 $h=\frac{2\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{\pi }}$ 米、底半径 $r=\frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{\pi }}$ 米（即高等于底面直径）时用料最省

✍【详细解析】

Abstract

【法一（导数）】体积 $\pi r^{2}h=50$，所以 $h=\frac{50}{\pi r^2}$。表面积 $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{100}{r}$。$S^{\prime }=4\pi r-\frac{100}{r^2}$，$S^{\prime \prime }=4\pi +\frac{200}{r^3}>0$（因 $r>0$）。令 $S^{\prime }=0$ 得 $4\pi r=\frac{100}{r^2}$，$r^3=\frac{25}{\pi }$，故 $r=\sqrt[3]{\frac{25}{\pi }}$，$h=\frac{50}{\pi r^2}=2\sqrt[3]{\frac{25}{\pi }}=2r$。此时 $S$ 最小。【法二（均值不等式）】$S=2\pi r^2+\frac{100}{r}=2\pi r^2+\frac{50}{r}+\frac{50}{r}\ge 3\sqrt[3]{2\pi r^2\cdot \frac{50}{r}\cdot \frac{50}{r}}=3\sqrt[3]{5000\pi }$，当 $2\pi r^2=\frac{50}{r}$，即 $r=\sqrt[3]{\frac{25}{\pi }}$ 时取等号，此时 $h=2r$。答：高取 $2\sqrt[3]{\frac{25}{\pi }}$ 米、底半径取 $\sqrt[3]{\frac{25}{\pi }}$ 米，即高等于底面直径时用料最省。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱用料最省

核心方法：由体积定值消去 h，求 S(r) 驻点或用三元均值不等式

避坑指南：导数法注意 S″>0 保证极小值；均值法注意三项凑等号 2πr²=50/r。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于“最优化”问题，圆柱体在体积定值下求表面积最小，导数与不等式经典应用。

结论推广：“体积(或周长)定值求表面积最小”，最优解在“高=直径”等对称比例处取得。

方法推广：法一导数、法二三元均值不等式殊途同归，两种方法都要掌握。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1977-湖北-02 解-篱笆围场最值