1977-山东A-11 解-猪圈最值设计

本题导读

本题考查二次函数最值（优化设计）。核心在于设总长 $x$、宽 $\frac{L-2x}{m+1}$，总面积 $S=-\frac{2}{m+1}{x}^2+\frac{L}{m+1}x$，顶点 $x=\frac{L}{4}$ 处最大；再算长总和与宽总和均为 $\frac{L}{2}$。

📌【题干】

Question

（1977年山东A卷） 现有可建猪圈 $L$ 米的材料，要建彼此相连的 $m$ 间面积相等的矩形猪圈（如下图）（门在内，墙的厚度不计）. (1)怎样设计每间猪圈的长和宽，才能使所建的猪圈的总面积最大？

(2)按这种设计，$m$ 间猪圈长的总和与宽的总和有什么关系？

🔍【思路分析】

破题导航

设长（横向总长）为 $x$，则宽为 $\frac{L-2x}{m+1}$；$S=x\cdot \frac{L-2x}{m+1}$，$a<0$ 顶点处最大：$x=\frac{L}{4}$；宽 $=\frac{L}{2(m+1)}$，每间长 $=\frac{x}{m}=\frac{L}{4m}$；长总和 $2x=\frac{L}{2}$，宽总和 $(m+1)\cdot \frac{L}{2(m+1)}=\frac{L}{2}$。

✅【答案】

Success

(1)每间长 $\frac{L}{4m}$、宽 $\frac{L}{2(m+1)}$ 时总面积最大，$S_{\max }=\frac{L^2}{8(m+1)}$(2)长的总和与宽的总和相等（均为 $\frac{L}{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

(1)设此猪圈的长为 $x$ 米，则宽就为 $\frac{L-2x}{m+1}$ 米。猪圈的总面积 $S=x\cdot \frac{L-2x}{m+1}=-\frac{2}{m+1}{x}^2+\frac{L}{m+1}x$，是长度 $x$ 的二次函数，其中 $a=-\frac{2}{m+1}$，$b=\frac{L}{m+1}$，$c=0$。 因为 $a<0$，所以当 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{\frac{L}{m+1}}{\frac{4}{m+1}}=\frac{L}{4}$ 时，面积 $S$ 最大。 $S_{\max }=\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{{\left(\frac{L}{m+1}\right)}^2}{-\frac{8}{m+1}}=\frac{L^2}{8(m+1)}$。 这时，宽 $\frac{L-2x}{m+1}=\frac{L}{2(m+1)}$，每间的长 $\frac{x}{m}=\frac{L}{4m}$。 答：每间猪圈的长为 $\frac{L}{4m}$，宽为 $\frac{L}{2(m+1)}$ 时，才能使所建猪圈总面积最大。 (2)按这种设计，猪圈长的总和 $=2x=\frac{L}{2}$，宽的总和 $=(m+1)\cdot \frac{L}{2(m+1)}=L-2x=\frac{L}{2}$，所以 $m$ 间猪圈长的总和与宽的总和相等。 答：按这种设计，$m$ 间猪圈长的总和与宽的总和相等。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：猪圈最值设计

核心方法：二次函数配最值

避坑指南：$S=x\cdot \frac{L-2x}{m+1}$，顶点 $x=\frac{L}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最值

结论推广：每间长 $\frac{L}{4m}$、宽 $\frac{L}{2(m+1)}$；长总和=宽总和

方法推广：总面积是 $x$ 的二次函数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积