1977-广西百色理-09 解-判别式证二实根

本题导读

本题考查判别式证明。核心在于把 $\Delta$ 配成 $(a-b{)}^2+4c^2\ge 0$ 的平方和结构。

📌【题干】

Question

（1977年广西百色卷(理)） 当 $a$，$b$，$c$ 为实数时，求证方程 $x^2-(a+b)x+(ab-c^2)=0$ 有两个实数根，并求出两个根相等的条件.

🔍【思路分析】

破题导航

$\Delta =(a+b{)}^2-4(ab-c^2)=(a-b{)}^2+4c^2\ge 0$ 恒成立；等根当且仅当两项同时为零。

✅【答案】

Success

方程必有两个实数根；两根相等的条件是 $a=b$ 且 $c=0$

✍【详细解析】

Abstract

证明：因为 $\Delta =[-(a+b){]}^2-4\times 1\times (ab-c^2)=a^2+2ab+b^2-4ab+4c^2=(a-b{)}^2+4c^2$。当 $a$，$b$，$c$ 为实数时，必有 $\Delta =(a-b{)}^2+4c^2\ge 0$。故方程有两个实数根，并且方程有两个等根的条件是 $(a-b{)}^2+4c^2=0$，即 $a=b$ 且 $c=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：判别式证二实根

核心方法：判别式配平方式

避坑指南：$\Delta =(a-b{)}^2+4c^2\ge 0$ 恒成立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：判别式

结论推广：等根条件 $a=b$ 且 $c=0$

方法推广：和的平方差配平

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-08 解-判别式与二次方程根
• 1977-吉林-04 解-判别式讨论