1977-贵州-10 解-直线与圆位置

本题导读

本题考查直线与圆位置关系。核心在于极坐标曲线化直角坐标圆，联立判别式按 $a$ 的符号分类。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 设有直线 $L$ 与曲线 $c$：$L:y=ax-1$，$c:r\sin \theta =\sin 2\theta$.问 $L$ 与 $c$ 在什么条件下相交，相切或不相交？

🔍【思路分析】

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$c$ 化直角坐标：$x^2+y^2=2x$ 即 $(x-1{)}^2+y^2=1$；代入 $y=ax-1$ 得 $(1+a^2)x^2-2(a+1)x+1=0$；$\Delta =8a$。

✅【答案】

Success

当 $a>0$ 时相交；$a=0$ 时相切；$a<0$ 时不相交

✍【详细解析】

Abstract

将 $c$ 化成直角坐标方程：$r\sin \theta =\sin 2\theta$，即 $y=2\sin \theta \cos \theta =\frac{2xy}{x^2+y^2}$。若 $y\ne 0$，即 $\frac{2x}{x^2+y^2}=1$，写成 $c:(x-1{)}^2+y^2=1$（$y=0$ 时原方程亦成立，原点已在圆上）。把 $y=ax-1$ 代入 $(x-1{)}^2+y^2=1$，整理后得 $(1+a^2)x^2-2(a+1)x+1=0$。判别式 $\Delta =4(a+1{)}^2-4(1+a^2)=8a$。当 $\Delta >0$ 即 $a>0$ 时，$L$ 与 $c$ 有两个交点，相交；当 $\Delta =0$ 即 $a=0$ 时，$L$ 与 $c$ 只有一个交点，相切；当 $\Delta <0$ 即 $a<0$ 时，$L$ 与 $c$ 没有交点，不相交。故当 $a>0$ 时，$L$ 与 $c$ 相交；$a=0$ 时相切；$a<0$ 时不相交。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆位置

核心方法：判别式定位置

避坑指南：$\Delta =8a$：$>0$ 相交、$=0$ 相切、$<0$ 相离

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆

结论推广：$a>0$ 相交、$a=0$ 相切、$a<0$ 不相交

方法推广：极坐标曲线先化直角坐标

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-河南-09 解-直线与圆交点及切线
• 1977-广西百色理-09 解-判别式证二实根