1977-山东A-08 解-判别式与二次方程根

本题导读

本题考查判别式与二倍角。核心在于 $\Delta ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha >0$，结合 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ 解出 $0<\alpha <\frac{\pi }{4}$，再用求根公式写两根。

📌【题干】

Question

（1977年山东A卷） $x^2-x\cos \alpha +\frac{1}{4}{\sin }^2\alpha =0$（$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）为关于 $x$ 的二次方程. (1)当 $\alpha$ 为何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)当方程有两个不相等的实数根时，它的根是什么？

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$\Delta >0$：${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha >0$，且 $0<2\alpha <\pi$，得 $0<2\alpha <\frac{\pi }{2}$；(2)求根公式 $x=\frac{\cos \alpha \pm \sqrt{\Delta }}{2}$。

✅【答案】

Success

(1)$0<\alpha <\frac{\pi }{4}$(2)$x_1=\frac{\cos \alpha +\sqrt{\cos 2\alpha }}{2}$，$x_2=\frac{\cos \alpha -\sqrt{\cos 2\alpha }}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)当二次方程的根的判别式 $\Delta >0$ 时，方程 $x^2-x\cos \alpha +\frac{1}{4}{\sin }^2\alpha =0$ 有两个不相等的实数根。由 $\Delta ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha >0$ 得 $\cos 2\alpha >0$。因为 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，所以 $0<2\alpha <\pi$，故 $0<2\alpha <\frac{\pi }{2}$，即 $0<\alpha <\frac{\pi }{4}$。 (2)这时方程的两个实数根是 $x_1=\frac{\cos \alpha +\sqrt{\cos 2\alpha }}{2}$，$x_2=\frac{\cos \alpha -\sqrt{\cos 2\alpha }}{2}$。 答：当 $0<\alpha <\frac{\pi }{4}$ 时，方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{\cos \alpha \pm \sqrt{\cos 2\alpha }}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：判别式与二次方程根

核心方法：判别式定参

避坑指南：$\Delta ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha >0$ 解三角不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：讨论

结论推广：$0<\alpha <\frac{\pi }{4}$；$x=\frac{\cos \alpha \pm \sqrt{\cos 2\alpha }}{2}$

方法推广：$\cos 2\alpha >0$ 注意定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-04 解-判别式讨论
• 1977-江西-16 解-判别式与平行四边形最值