1977-青海-08 解-判别式与锐角

本题导读

本题考查判别式与锐角。核心在于判别式=0 列 sinθ 的方程，求锐角 θ 并解出等根。

📌【题干】

Question

（1977年青海卷） (1)当锐角 $\theta$ 为何值时，方程 $(3\sin \theta )x^2-(4\cos \theta )x+2=0$ 有两个相等的实数根？(2)并求出这个方程的实数根.

🔍【思路分析】

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$\Delta =(4\cos \theta {)}^2-8(3\sin \theta )=0$，即 $16{\cos }^2\theta -24\sin \theta =0$，用 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ 化 sinθ 方程。

✅【答案】

Success

(1)$\theta =30^{\circ }$；(2)$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)要使方程有两个相等实根，判别式必为 0：$(4\cos \theta {)}^2-8(3\sin \theta )=0$，即 $16{\cos }^2\theta -24\sin \theta =0$，$2{\cos }^2\theta -3\sin \theta =0$。用 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ 得 $2(1-{\sin }^2\theta )-3\sin \theta =0$，即 $2{\sin }^2\theta +3\sin \theta -2=0$，$(2\sin \theta -1)(\sin \theta +2)=0$。故 $\sin \theta =\frac{1}{2}$（$\sin \theta =-2$ 舍去），$\theta =30^{\circ }$。(2)此时方程化为 $3x^2-4\sqrt{3}x+4=0$，即 $(\sqrt{3}x-2{)}^2=0$，所以 $x=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：判别式与锐角

核心方法：判别式=0 列关于 sinθ 的方程，求锐角 θ

避坑指南：Δ=16cos²θ-24sinθ=0 得 2sin²θ+3sinθ-2=0，sinθ=1/2，θ=30°；根为 2√3/3。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于判别式与三角方程，考查根的等值条件。

结论推广：二次方程有等根 ⟺ 判别式=0。

方法推广：由 cos²θ=1-sin²θ 化为 sinθ 的一元二次方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 1977-山东A-08 解-判别式与二次方程根
• 1977-广西百色理-09 解-判别式证二实根