1977-云南-01 解-根式指数与对数四连

本题导读

本题考查指数、对数与无理方程的混合运算。核心在于统一化为 2 的幂或同底对数，逐项对消得 0；无理方程用换元法。

📌【题干】

Question

（1977年云南卷） (1)计算 ${\left(\frac{8x^{-3}}{\sqrt{y^3}{z}^{-6}}\right)}^{-\frac{1}{3}}$；(2)计算 $\cos \frac{3\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}$ 之值；(3)计算 ${\log }_3\frac{1}{27}+{\log }_{\frac{1}{2}}8+{\log }_{2}8+{\log }_{4}64$；(4)解方程 $2\sqrt{x-3}+6=x$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$8=2^3$，$\sqrt{y^3}=y^{\frac{3}{2}}$，再整体取 $-\frac{1}{3}$ 次幂；(2)$\cos \frac{3\pi }{8}=\sin \frac{\pi }{8}$ 用二倍角；(3)逐项化为 ${\log }_a{a}^n=n$；(4)令 $y=\sqrt{x-3}$ 化二次方程。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{x\sqrt{y}}{2z^2}$；(2)$\frac{\sqrt{2}}{4}$；(3)$0$；(4)$x=12$

✍【详细解析】

Abstract

(1)原式 $={\left(\frac{2^3{x}^{-3}}{y^{\frac{3}{2}}{z}^{-6}}\right)}^{-\frac{1}{3}}=2^{-1}x{y}^{-\frac{1}{2}}{z}^2=\frac{x\sqrt{y}}{2z^2}$。(2)$\cos \frac{3\pi }{8}=\sin \frac{\pi }{8}$，故原式 $=\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。(3)${\log }_3\frac{1}{27}={\log }_3{3}^{-3}=-3$，${\log }_{\frac{1}{2}}8={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=-3$，${\log }_{2}8={\log }_2{2}^3=3$，${\log }_{4}64={\log }_4{4}^3=3$，故原式 $=-3-3+3+3=0$。(4)令 $y=\sqrt{x-3}\ge 0$，则 $x-3=y^2$，方程化为 $y^2-2y-3=0$，解得 $y=3$ 或 $y=-1$（舍），故 $x-3=9$，$x=12$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式指数与对数四连

核心方法：统一化为 2 的幂或同底对数逐项相消

避坑指南：根式开偶次方注意符号；负指数与分数指数幂勿混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材“指数与对数”基础运算，考查幂的运算律与对数恒等式 logₐaⁿ=n。

结论推广：对任意正数 a、b，logₐb + logₐ(1/b) = 0 可推广到多底混合运算。

方法推广：把根式统一写成 a 的幂或 2 的幂，逐项对消是处理混合运算的通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-06 解-指数根式化简
• 1977-山东A-02 解-对数综合计算
• 1977-广东-03 解-指数对数两连