1977-陕西-01 解-指数根式求值

本题导读

本题考查指数根式求值。核心在于把负指数、分数指数化为根式，逐项计算合并。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 求值：${\left(\frac{1}{300}\right)}^{-\frac{1}{2}}+10{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(\frac{27}{4}\right)}^{\frac{1}{4}}-10(2-\sqrt{3}{)}^{-1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

${\left(\frac{1}{300}\right)}^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$；$10\cdot \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{4}}$；$\frac{10}{2-\sqrt{3}}=10(2+\sqrt{3})$。

✅【答案】

Success

$-5$

✍【详细解析】

Abstract

原式 $=\sqrt{300}+10\cdot \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{4}}-\frac{10}{2-\sqrt{3}}=10\sqrt{3}+15-10(2+\sqrt{3})=10\sqrt{3}+15-20-10\sqrt{3}=-5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数根式求值

核心方法：把负指数、分数指数化为根式或幂，逐项计算合并

避坑指南：${\left(\frac{1}{300}\right)}^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{300}$；${\left(\frac{27}{4}\right)}^{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{4}}$，最后 $-10(2+\sqrt{3})$ 与 $+10\sqrt{3}$ 对消。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于指数与根式的互化，考查分数指数幂的运算。

结论推广：分数指数幂与根式的互化是处理混合求值的通用工具。

方法推广：把 $(2-\sqrt{3}{)}^{-1}$ 有理化分母为 $2+\sqrt{3}$ 是化简关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-云南-01 解-根式指数与对数四连
• 1977-广西理-04 解-指数混合运算