1977-广东-03 解-指数对数两连

本题导读

本题考查负指数幂与对数运算。核心在于 $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$、对数展开后合并同类项。

📌【题干】

Question

（1977年广东卷） 计算.(1)${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}-4\times (-2{)}^{-3}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^0-9^{-\frac{1}{2}}$. (2)$2\lg \left(a^{\frac{1}{3}}{b}^2\right)-\lg \frac{\sqrt{b}}{8}-3\lg 2$，其中 $\lg a=0.33$，$\lg b=0.22$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)逐项化：$2$、$-4\times \frac{1}{-8}$、$1$、$-\frac{1}{3}$；(2)展开 $2\lg (a^{1/3}{b}^2)=\frac{2}{3}\lg a+4\lg b$，$\lg \frac{\sqrt{b}}{8}=\frac{1}{2}\lg b-3\lg 2$。

✅【答案】

Success

(1)$3\frac{1}{6}$(2)$0.99$

✍【详细解析】

Abstract

(1)原式 $=2-4\times \left(-\frac{1}{8}\right)+1-\frac{1}{3}=2+\frac{1}{2}+1-\frac{1}{3}=3\frac{1}{6}$。 (2)原式 $=\frac{2}{3}\lg a+4\lg b-\left(\frac{1}{2}\lg b-3\lg 2\right)-3\lg 2=\frac{2}{3}\lg a+\frac{7}{2}\lg b=\frac{2}{3}\times 0.33+\frac{7}{2}\times 0.22=0.22+0.77=0.99$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数对数两连

核心方法：负指数幂+对数展开

避坑指南：$9^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$；$\lg \frac{\sqrt{b}}{8}=\frac{1}{2}\lg b-3\lg 2$ 减号要分配

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数对数

结论推广：(1)$3\frac{1}{6}$(2)$0.99$

方法推广：对数展开后合并，减号分配到括号内每一项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-02 解-对数综合计算
• 1977-安徽文-02 解-根式与对数化简