1977-重庆-02 解-对数首数定位数

本题导读

本题考查对数应用。核心在于 $\lg 2=1-\lg 5$，算出常用对数的首数即定位数。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 已知 $\lg 5=0.6990$，问 $8^{34}\times 25^{11}$ 是多少位的整数.

🔍【思路分析】

破题导航

$\lg (8^{34}\times 25^{11})=34\times 3\lg 2+11\times 2\lg 5=102\lg 2+22\lg 5$；首数46即47位。

✅【答案】

Success

是47位的整数

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\lg 5=0.6990$，所以 $\lg 2=1-\lg 5=0.3010$。$\lg (8^{34}\times 25^{11})=34\lg 8+11\lg 25=34\times 3\lg 2+11\times 2\lg 5=102\lg 2+22\lg 5=102\times 0.3010+22\times 0.6990=30.702+15.378=46.08$。因此 $8^{34}\times 25^{11}$ 是47位的整数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数首数定位数

核心方法：首数定位数

避坑指南：$\lg (8^{34}\times 25^{11})=46.08$，首数46即47位

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：常用对数

结论推广：47位整数

方法推广：位数=首数+1

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-广东-03 解-指数对数两连
• 1977-江西-03 填-对数恒等式