1977-西藏-03 解-对数求值

本题导读

本题考查对数求值。核心在于换底公式把 log₂5 化为 lg5/lg2，逐项合并。

📌【题干】

Question

（1977年西藏卷） 已知 ${\log }_{10}2=0.3010$，${\log }_{10}5=0.6990$，试计算 $(2{\log }_{10}4)({\log }_{2}5)+{\log }_{10}\frac{5}{2}$ 的值（精确到小数三位）.

🔍【思路分析】

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$2\lg 4=4\lg 2$，${\log }_{2}5=\frac{\lg 5}{\lg 2}$，$\lg \frac{5}{2}=\lg 5-\lg 2$，合并得 $5\lg 5-\lg 2$。

✅【答案】

Success

$\approx 3.194$

✍【详细解析】

Abstract

$(2{\log }_{10}4)({\log }_{2}5)+{\log }_{10}\frac{5}{2}=(4{\log }_{10}2)\left(\frac{{\log }_{10}5}{{\log }_{10}2}\right)+{\log }_{10}5-{\log }_{10}2=4{\log }_{10}5+{\log }_{10}5-{\log }_{10}2=5{\log }_{10}5-{\log }_{10}2=5\times 0.6990-0.3010\approx 3.194$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数求值

核心方法：换底公式把 log₂5 化为 lg5/lg2，逐项合并

避坑指南：(2lg4)(log₂5)=4lg5；最后 5lg5-lg2=5×0.6990-0.3010≈3.194。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数的换底公式与运算性质，考查对数求值。

结论推广：换底公式 log_b a = lg a / lg b 是处理不同底对数的通用工具。

方法推广：把 log₂5 换成 lg5/lg2 后与 (2lg4) 相乘，lg2 恰好约去。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-云南-01 解-根式指数与对数四连
• 1977-山东A-02 解-对数综合计算