2006-四川文-19 解-独立事件概率

本题导读

本题考查独立事件。核心在于独立事件与互斥事件。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 某课程考核分理论和实验两部分进行，每部分考核成绩只记”合格”与”不合格”，两部分考核都”合格”则该课程考核”合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 $0.9$、$0.8$、$0.7$；在实验考核中合格的概率分别为 $0.8$、$0.7$、$0.9$．所有考核是否合格互相之间没有影响．

(1) 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

(2) 求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) “至少两人合格” $=$ 恰有两人合格 $+$ 三人都合格。
2. 恰两人合格（第三人不合格）三种情形相加，再加三人都合格。
3. (2) 每人课程合格 $=$ 理论合格且实验合格，概率相乘；三人课程都合格 $=$ 三人各自课程合格同时发生。

✅【答案】

Success

(1) $0.902$

(2) $0.254$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设理论考核中甲、乙、丙合格分别为事件 $A$、$B$、$C$，则 $P(A)=0.9$、$P(B)=0.8$、$P(C)=0.7$，且相互独立． “至少有两人合格”包括”恰有两人合格”与”三人都合格”两种情形： $P=P(AB\bar{C})+P(A\bar{B}C)+P(\bar{A}BC)+P(ABC)$ $=0.9\times 0.8\times 0.3+0.9\times 0.2\times 0.7+0.1\times 0.8\times 0.7+0.9\times 0.8\times 0.7$ $=0.216+0.126+0.056+0.504=\mathrm{0.902.}$

（2）甲课程考核合格的概率为 $0.9\times 0.8=0.72$； 乙课程考核合格的概率为 $0.8\times 0.7=0.56$； 丙课程考核合格的概率为 $0.7\times 0.9=0.63$． 由于所有考核是否合格相互独立，三人该课程考核都合格的概率为 $0.72\times 0.56\times 0.63=0.254016\approx \mathrm{0.254.}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率

核心方法：(1) 理论考核至少两人合格：$0.9\cdot 0.8\cdot 0.3+0.9\cdot 0.2\cdot 0.7+0.1\cdot 0.8\cdot 0.7+0.9\cdot 0.8\cdot 0.7=0.902$；(2) 三人课程都合格 $0.72\times 0.56\times 0.63\approx 0.254$

避坑指南：每人课程合格 $=$ 理论$\times$实验；“至少两人”含恰两人与三人都合格，分类相加

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 独立事件概率乘法

结论推广: $P(AB)=P(A)P(B)$（独立）

方法推广: 至少型概率用分类相加或补集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率
• 2008-天津文-18 解-独立事件投球概率
• 2008-湖南文-16 解-面试签约概率
• 2008-江西文-18 解-独立事件与互斥分类