2002-新课标理-19 解-独立重复试验

本题导读

本题考查二项分布的实际应用。核心意图在于测试学生将实际生活中“多独立个体概率相同”的行为抽象为标准的二项分布模型，通过计算指定组合数的概率和，解决“至少”类离散随机变量的概率和参数判定。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5（相互独立）.

(1)求至少 3 人同时上网的概率；

(2)至少几人同时上网的概率小于 0.3？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型构建：由于 6 个员工是否上网相互独立，且每个人上网的概率均为 $p=0.5$。设同时上网的人数为随机变量 $X$，则 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B(6,0.5)$。
2. 第一问逻辑：“至少 3 人同时上网”即求 $P(X\ge 3)$ 的值。通过互斥事件概率加法公式， $P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)$，利用公式 $P(X=k)=C_6^k{p}^k(1-p{)}^{6-k}$ 代入计算。由于 $p=1-p=0.5$，可统一提取公因式 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6$ 进行化简。
3. 第二问逻辑：设“至少 $m$ 人同时上网”，对应概率为 $P(X\ge m)$。我们需要找到最小的正整数 $m$，使得 $P(X\ge m)<0.3$。可以从高位（如 $m=6,5,4$）向低位依次累加计算其概率，当累加值首次突破 0.3 临界线时，其上一个状态即为所求临界人数。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{21}{32}$

(2) 至少 $5$ 人同时上网时，该概率小于 $0.3$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意， 6 个员工上网的行为相互独立，且每人上网的概率均为 $p=0.5$。 设同时上网的人数为随机变量 $X$，则 $X\sim B(6,0.5)$。 根据二项分布的概率分布列公式，恰有 $k$ 人同时上网的概率为： $P(X=k)=C_6^k\cdot 0.5^k\cdot (1-0.5{)}^{6-k}=C_6^k\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{C_6^k}{64}(k=0,1,2,3,4,5,6)$

分别计算出各项具体的概率值以备后续使用：

• $P(X=0)=\frac{C_6^0}{64}=\frac{1}{64}$

• $P(X=1)=\frac{C_6^1}{64}=\frac{6}{64}$

• $P(X=2)=\frac{C_6^2}{64}=\frac{15}{64}$

• $P(X=3)=\frac{C_6^3}{64}=\frac{20}{64}$

• $P(X=4)=\frac{C_6^4}{64}=\frac{15}{64}$

• $P(X=5)=\frac{C_6^5}{64}=\frac{6}{64}$

• $P(X=6)=\frac{C_6^6}{64}=\frac{1}{64}$

（1）求至少 3 人同时上网的概率： “至少 3 人同时上网”对应的事件为 $X\ge 3$。根据互斥事件加法公式： $P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)$ 代入数值计算： $P(X\ge 3)=\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}=\frac{20+15+6+1}{64}=\frac{42}{64}=\frac{21}{32}$

答：至少 3 人同时上网的概率为 $\frac{21}{32}$（或 $0.65625$）。

（2）计算至少几人同时上网的概率小于 0.3： 设所求的同时上网的至少人数为 $m$（ $m$ 为正整数， $1\le m\le 6$），对应概率为 $P(X\ge m)$。 我们需要计算不同的 $m$ 对应的累加概率并与 $0.3$ 进行大小比较：

• 当 $m=6$ 时（至少 6 人）： $P(X\ge 6)=P(X=6)=\frac{1}{64}=0.015625<0.3$
• 当 $m=5$ 时（至少 5 人）： $P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6)=\frac{6}{64}+\frac{1}{64}=\frac{7}{64}=0.109375<0.3$
• 当 $m=4$ 时（至少 4 人）： $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}=0.34375>0.3$

由以上计算可知：

• 当 $m\ge 5$ 时，至少 $m$ 人同时上网的概率小于 0.3；
• 当 $m\le 4$ 时，至少 $m$ 人同时上网的概率大于等于 0.3。

所以，至少 5 人同时上网的概率小于 0.3。

答：至少 5 人同时上网的概率小于 0.3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布公式的准确计算；互斥事件“至少”逻辑的累加运算。
2. 核心方法：公式l代入法、逐项累加分析法。
3. 避坑指南：

• 分母通分及计算失误陷阱：在计算二项分布时，部分学生由于公式展开项较多容易算错系数。由于本题 $p=0.5$，所有项的分母恒为 $2^6=64$，只需精准算对组合数 $C_6^k$ 的分子并累加即可。
• 边界条件误判陷阱：在第二问中，算到 $m=4$ 时的概率为 $0.34375>0.3$，算到 $m=5$ 时为 $0.109375<0.3$。部分学生在作答时会笔误写成“至少 4 人”。请审清题意，题目要求概率严格“小于 0.3”，故临界界限必须切在 5 人这一档。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源： 本题以“员工上网”为实际情境，考查独立重复试验（伯努利概型）与二项分布，核心是 $X\sim B(6,0.5)$ 下“至少”型事件的概率计算，体现分类讨论与补集思想。

结论推广： 一般地，若 $X\sim B(n,p)$，则 $P(X\ge k)={\sum }_{i=k}^n{C}_n^i{p}^i(1-p{)}^{n-i}$；当 $p=\frac{1}{2}$ 时，$P(X=k)=\frac{C_n^k}{2^n}$，且分布关于 $\frac{n}{2}$ 对称，即 $P(X=k)=P(X=n-k)$，故 $P(X\ge k)=P(X\le n-k)$，可简化“至少”型计算。

方法推广： 求“至少几人”满足概率阈值，本质是解关于 $m$ 的不等式 $P(X\ge m)<0.3$，可借助分布列逐项累加或利用对称性估算，体现离散型随机变量单调性与估算意识。

1. 试题探源

本题属于概率统计板块中的二项分布应用题，考查独立重复试验中“至少”类事件的概率计算。

2. 结论推广

【二项分布对称中心性质定理】 对于任意服从 $X\sim B(2n,0.5)$ 形式的偶数项对称二项分布模型：

• 其概率分布列具有关于几何中心 $k=n$ 的完美轴对称性，即 $P(X=n-\Delta )\equiv P(X=n+\Delta )$。
• 由全概率公式可直接导出其正中心累加割线恒等式： $P(X\ge n)=\frac{1+P(X=n)}{2},P(X\ge n+1)=\frac{1-P(X=n)}{2}$
• 本题切合点：本题中 $2n=6⟹n=3$。利用推广定理，第一问直接口算： $P(X\ge 3)=\frac{1+P(X=3)}{2}=\frac{1+\frac{20}{64}}{2}=\frac{84}{128}=\frac{21}{32}$。第二问判定临界点 $P(X\ge 4)=\frac{1-P(X=3)}{2}=\frac{1-\frac{20}{64}}{2}=\frac{44}{128}=0.34375>0.3$，而下一步 $P(X\ge 5)=P(X\ge 4)-P(X=4)=\frac{22}{64}-\frac{15}{64}=\frac{7}{64}\approx 0.109<0.3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2006-江西文-18 解-摸球中奖概率
• 2006-四川文-19 解-独立事件概率
• 2006-重庆文-17 解-独立事件概率