2006-重庆文-17 解-独立事件概率

本题导读

本题考查独立事件。核心在于独立事件与互斥事件。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机。设该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为 $\frac{1}{6}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{2}$。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：

(1) 这三个电话是打给同一个人的概率；

(2) 这三个电话中恰有两个是打给甲的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) “打给同一个人”分三类：都打给甲、都打给乙、都打给丙，三类互斥。
2. 概率 $={\left(\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{6}$。
3. (2) 恰有两个打给甲：从 3 个电话中选 2 个打给甲（$C_3^2$），另一个不打给甲（概率 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$）。
4. $C_3^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot \frac{5}{6}=3\times \frac{1}{36}\times \frac{5}{6}=\frac{5}{72}$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{5}{72}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）三个电话都打给甲、乙、丙的概率分别为 ${\left(\frac{1}{6}\right)}^3$、${\left(\frac{1}{3}\right)}^3$、${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$，且这三类互斥，故三个电话打给同一个人的概率为 ${\left(\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{216}+\frac{8}{216}+\frac{27}{216}=\frac{1}{6}.$

（2）恰有两个电话打给甲：先从三个电话中选出两个打给甲（$C_3^2$ 种），另一个电话不能打给甲（概率 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$），故 $P=C_3^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot \frac{5}{6}=3\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{72}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率

核心方法：(1) ${\left(\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{6}$；(2) $C_3^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{72}$

避坑指南：(1) 互斥事件分类相加；(2) 恰两个打给甲，第三个别打给甲（$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 独立事件与互斥事件的概率

结论推广: 同一个人：三类互斥相加；恰两个打给甲：二项分布

方法推广: 独立事件相乘、互斥事件相加，模型要分清

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率
• 2008-重庆文-18 解-独立重复试验概率
• 2008-江西文-18 解-独立事件与互斥分类
• 2008-福建文-05 单-独立重复试验