2004-辽宁卷-05 单-相互独立事件概率

本题导读

本题考查互斥事件的概率加法公式，以及对立事件的概率特征。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 $p_1$，乙解决这个问题的概率是 $p_2$，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 ()

A. $p_1{p}_2$　　　　　　　　　　　　　　B. $p_1(1-p_2)+p_2(1-p_1)$

C. $1-p_1{p}_2$　　　　　　　　　　　　D. $1-(1-p_1)(1-p_2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（拆解目标复合事件）：目标事件表述为“恰好有 1 人解决”．由于总共只有甲、乙两人，这一状态在样本空间中包含且仅能包含以下两种互斥的离散情形：
   • 情形一：甲成功解决了问题，而乙未能解决问题（即“甲出乙不出”）；
   • 情形二：乙成功解决了问题，而甲未能解决问题（即“乙出甲不出”）。
2. 第二步逻辑（利用独立性求分量概率）：由于题干中给出了关键物理约束“独立地解”，说明甲、乙两人的测试结果在概率度量上彼此互不干扰、相互独立。根据对立事件性质，甲、乙不解决的概率分别为 $1-p_1$ 和 $1-p_2$．进而应用独立事件乘法公式：
   • 情形一的联合概率为： $p_1\times (1-p_2)$；
   • 情形二的联合概率为： $(1-p_1)\times p_2$。
3. 第三步逻辑（加和输出结果）：由于上述两种情形在几何空间上绝不可能同时发生（互斥），根据互斥事件的概率加法公式，直接将两部分乘积进行算术加和，即可锁定最终的代数表达式。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 定义并提取分量基础概率： 设“甲成功解决该问题”为事件 $A$， “乙成功解决该问题”为事件 $B$． 由题意可知，两事件相互独立，其对应基本概率度量为： $P(A)=p_1,P(B)=p_2\text{（式1）}$

  根据对立事件的减法方程，两人的前驱失败（未能解决）事件的概率分别为： $P(\bar{A})=1-P(A)=1-p_1\text{（式2）}$ $P(\bar{B})=1-P(B)=1-p_2\text{（式3）}$

• 对目标复合命题进行分类离散化： 记目标事件 “恰好有 1 人解决这个问题”为事件 $M$． 根据加法原理，事件 $M$ 可完整拆解为以下两个互斥分支事件的交集之和： $M=(A\cdot \bar{B})\cup (\bar{A}\cdot B)\text{（式4）}$

• 应用独立重复试验乘法与加法法则计算： 因为事件 $A$ 与事件 $B$ 严格相互独立，其各自对应的补集事件在代数上同样保持相互独立． 对（式4）两边施加概率运算，由于两分支互斥，将并集转换为标准的算术加法： $P(M)=P(A\cdot \bar{B})+P(\bar{A}\cdot B)\text{（式5）}$ 利用独立事件数量积公式，将（式5）中的积运算直接转化为概率乘积： $P(M)=P(A)\cdot P(\bar{B})+P(\bar{A})\cdot P(B)\text{（式6）}$ 将（式1）、（式2）、（式3）中的基础代数元代入（式6）中，直接输出目标概率表达式： $P(M)=p_1(1-p_2)+(1-p_1)p_2=p_1(1-p_2)+p_2(1-p_1)$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件同时发生的乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B)$；互斥事件至少一个发生的加法公式；对立面不发生概率 $1-p$ 的提取。
2. 核心方法：分类讨论归纳法、概率流转变形法。
3. 避坑指南：
   • 对于公式容易记混的同学，本题强烈推荐‘特值卡位秒杀法’： 直接假设甲解决的概率 $p_1=0.5$，乙解决的概率 $p_2=0.5$．
     • 此时，总样本空间包含 4 种等可能结果：（成，成）、（成，败）、（败，成）、（败，败），各占概率 $\frac{1}{4}=0.25$．
     • 题干要求的“恰好有1人解决”包含（成，败）与（败，成）两种，因此目标概率必然严格为 $0.25+0.25=0.5$．
     • 依次把 $p_1=0.5,p_2=0.5$ 代入四个选项核验：
       • (A) $0.5\times 0.5=0.25\ne 0.5$（排除）；
       • (B) $0.5\times (1-0.5)+0.5\times (1-0.5)=0.25+0.25=0.5$（完全吻合）；
       • (C) $1-0.25=0.75\ne 0.5$（排除）；
       • (D) $1-(1-0.5)(1-0.5)=1-0.25=0.75\ne 0.5$（排除）。 无须任何逻辑推导，通过一组最简单的特值代入，可以直接 100% 锁死正确答案，极适合考场抢时间。
   • 注意题干中其他选项的经济学与概率学几何含义： (A) 代表两人都解决的概率； (D) 代表两人中至少有1人解决的概率（即大数定理对立排除）。分清“恰好有1人”与“至少有1人”的语意差别是杜绝错选 D 的核心关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材概率与统计章节关于“相互独立事件同时发生的概率”开篇最基础、最经典的性质推导理论题，是高考考查概率代数化符号表征能力最标准的送分低档题。
2. 结论推广: 两个相互独立事件 $A,B$ 同时发生的概率 $P(AB)=P(A)P(B)$；恰有一个发生的概率为 $P(A)P(\bar{B})+P(\bar{A})P(B)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-19 解-独立事件概率
• 2006-重庆文-17 解-独立事件概率
• 2006-陕西文-17 解-独立事件概率