2006-陕西文-17 解-独立事件概率

本题导读

本题考查独立事件。核心在于独立事件概率。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 甲、乙、丙 $3$ 人投篮，投进的概率分别是 $\frac{2}{5}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{5}$．现 $3$ 人各投篮 $1$ 次，求：

(1) $3$ 人都投进的概率；

(2) $3$ 人中恰有 $2$ 人投进的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设甲、乙、丙投进分别为事件 $A,B,C$，各次投篮相互独立。
2. (1) $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{3}{25}$。
3. (2) 恰有两人投进分三种互斥情形：甲乙进丙不进、甲丙进乙不进、乙丙进甲不进。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{3}{25}$

(2) $\frac{19}{50}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设甲、乙、丙投进分别为事件 $A,B,C$．按各次投篮相互独立处理，三人都投进的概率为 $P(ABC)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{3}{25}.$

（2）恰有两人投进包括甲、乙投进而丙未投进，甲、丙投进而乙未投进，以及乙、丙投进而甲未投进三种互斥情形．因此所求概率为 $P(AB\bar{C})+P(A\bar{B}C)+P(\bar{A}BC)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{5}+\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}$ $=\frac{2}{25}+\frac{3}{25}+\frac{9}{50}=\frac{19}{50}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率

核心方法：(1) 三人都投进 $\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{3}{25}$；(2) 恰两人投进三情形相加 $\frac{19}{50}$

避坑指南：恰有两人投进分三种互斥情形，勿漏任一组合；各次投篮独立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 独立事件概率

结论推广: $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

方法推广: 分类讨论互斥情形再相加

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率
• 2008-天津文-18 解-独立事件投球概率
• 2008-江西文-18 解-独立事件与互斥分类
• 2008-重庆文-18 解-独立重复试验概率