2003-江苏卷-17 解-相互独立事件的概率乘法公式

本题导读

本题主要考查相互独立事件及互斥事件的概率计算。解题的关键在于将实际问题中的“恰有一件”和“至少两件”转化为相互独立事件交与互斥事件并的代数运算结构。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） 有三种产品，合格率分别为 $0.90$，$0.95$ 和 $0.95$，各抽取一件进行检验.

(1) 求恰有一件不合格的概率；

(2) 求至少有两件不合格的概率.（精确到 $0.001$）

🔍【思路分析】

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1. 事件定义与对立面转化：设三种产品抽取的个体合格事件分别为 $A,B,C$，其不合格事件（对立事件）为 $\bar{A},\bar{B},\bar{C}$。根据对立事件公式先算出各自不合格的单步概率。

2. 第一问逻辑（恰有一件不合格）：属于互斥事件的并。分为三种互斥情况：只有第一种不合格、只有第二种不合格、只有第三种不合格。分别计算三种独立事件交的概率并相加。

3. 第二问逻辑（至少有两件不合格）：可以正向分类讨论（恰有两件不合格 + 三件都不合格），也可以利用对立事件（1 - 三件都合格 - 恰有一件不合格）求解。

✅【答案】

Success

(1) $0.176$

(2) $0.012$

✍【详细解析】

Abstract

设事件 $A,B,C$ 分别表示抽取的 By 第一、二、三种产品为合格品。 由题意知， $A,B,C$ 相互独立，且各自的概率为： $P(A)=0.90,P(B)=0.95,P(C)=0.95$

则它们对应的对立事件（即各件产品不合格）的概率分别为： $P(\bar{A})=1-0.90=0.10$ $P(\bar{B})=1-0.95=0.05$ $P(\bar{C})=1-0.95=0.05$

(1) 求恰有一件不合格的概率

“恰有一件不合格”包含以下三种互斥情况：

• 第一种不合格，第二、三种合格，概率为：$P(\bar{A}BC)=P(\bar{A})P(B)P(C)$
• 第二种不合格，第一、三种合格，概率为：$P(A\bar{B}C)=P(A)P(\bar{B})P(C)$
• 第三种不合格，第一、二种合格，概率为：$P(AB\bar{C})=P(A)P(B)P(\bar{C})$

根据互斥事件的加法公式与独立事件的乘法公式，该事件的概率 $P_1$ 为： $P_1=P(\bar{A})P(B)P(C)+P(A)P(\bar{B})P(C)+P(A)P(B)P(\bar{C})$ $P_1=0.10\times 0.95\times 0.95+0.90\times 0.05\times 0.95+0.90\times 0.95\times 0.05$ $P_1=0.09025+0.04275+0.04275$ $P_1=0.17575\approx 0.176$

答：恰有一件不合格的概率为 $0.176$.

(2) 求至少有两件不合格的概率

• 方法一：正向分类讨论法 “至少两件不合格”包含“恰有两件不合格”与“三件都不合格”两种情况。
  • 恰有两件不合格的概率： $P_{\text{恰2}}=P(\bar{A}\bar{B}C)+P(\bar{A}B\bar{C})+P(A\bar{B}\bar{C})$ $P_{\text{恰2}}=0.10\times 0.05\times 0.95+0.10\times 0.95\times 0.05+0.90\times 0.05\times 0.05$ $P_{\text{恰2}}=0.00475+0.00475+0.00225=0.01175$
  • 三件都不合格的概率： $P_{\text{全不}}=P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=0.10\times 0.05\times 0.05=0.00025$
  • 总概率 $P_2$ 为： $P_2=P_{\text{恰2}}+P_{\text{全不}}=0.01175+0.00025=0.012$
• 方法二：对立事件法 “至少有两件不合格”的对立事件为“三件全部合格”或“恰有一件不合格”。
  • 三件全部合格的概率为： $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.90\times 0.95\times 0.95=0.81225$
  • 结合第(1)问已算出的恰有一件不合格的概率 $P_1=0.17575$： $P_2=1-P(ABC)-P_1$ $P_2=1-0.81225-0.17575=1-0.98800=0.012$

答：至少有两件不合格的概率为 $0.012$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：事件独立性判定，相互独立事件同时发生的乘法准则 $P(XY)=P(X)P(Y)$，对立事件性质。
2. 核心方法：对立事件转化思想。处理“至少”类计数或概率问题时，利用 $P(A)=1-P(\bar{A})$ 能有效简化分类层级。
3. 避坑指南：

   • 第一问计算时极易丢掉某一种组合情况，必须做到不重不漏。

   • 注意精度控制。题目要求“精确到 $0.001$”，在中间代数运算过程中不可提前四舍五入，必须保留完整小数位算出终值后，再在最后一步进行约分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于概率与统计大板块中经典的概率解答送分题，主要考查教材中独立性检验及基础互斥并事件概率基本功的运算。
2. 结论推广: 若有 $n$ 个相互独立的事件，其发生概率分别为 $p_1,p_2,\dots ,p_n$。则全发生的概率为 ${\prod }_{i=1}^n{p}_i$，全不发生的概率为 ${\prod }_{i=1}^n(1-p_i)$。对于“至少发生一件”或“至少不发生两件”等复杂结构，均可通过构建二项式生成函数（母函数） ${\prod }_{i=1}^n(p_{i}x+(1-p_i))$ 展开后的各阶项系数进行一般化提取。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2004-湖南文-19 解-独立事件概率
• 2006-四川文-19 解-独立事件概率
• 2006-重庆文-17 解-独立事件概率