2006-江西文-18 解-摸球中奖概率

本题导读

本题考查独立重复试验。核心在于独立概率互斥求和。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有 $9$ 个白球，$1$ 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得二等奖；摸出两个红球可获得一等奖。现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次。求： （1）甲，乙两人都没有中奖的概率； （2）甲，乙两人中至少有一人获二等奖的概率。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设一次摸到红球、白球的概率分别为 $p=\frac{1}{10}$、$q=\frac{9}{10}$，各次摸球相互独立。
2. 都没中奖：甲一次白球、乙两次都白球，概率 $q\cdot q^2=q^3={\left(\frac{9}{10}\right)}^3=\frac{729}{1000}$。
3. 设 $A$=甲获二等奖、$B$=乙获二等奖，$P(A)=p$，$P(B)=2pq$；$P(A\cup B)=p+2pq-2p^{2}q=\frac{131}{500}$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{729}{1000}$

(2)$\frac{131}{500}$

✍【详细解析】

Abstract

设一次摸到红球和白球的概率分别为 $p=\frac{1}{10}$，$q=\frac{9}{10}$。由于每次摸出后都放回，各次摸球相互独立。

（1）甲没有中奖须一次摸到白球；乙没有中奖须两次都摸到白球。 因此甲、乙两人都没有中奖的概率为 $q\cdot q^2=q^3={\left(\frac{9}{10}\right)}^3=\frac{729}{1000}$。

（2）设事件 $A$ 为甲获二等奖，事件 $B$ 为乙获二等奖。 甲只摸一次，故 $P(A)=p$；乙恰好摸到一个红球时获二等奖，故 $P(B)=2pq$； 事件 $A\cap B$（两人都获二等奖）的概率为 $p\cdot 2pq=2p^{2}q$。 因此至少有一人获二等奖的概率为 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=p+2pq-2p^{2}q$ $=\frac{1}{10}+2\cdot \frac{1}{10}\cdot \frac{9}{10}-2\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^2\cdot \frac{9}{10}=\frac{131}{500}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：摸球中奖概率

核心方法：独立概率互斥求和

避坑指南：都未中 $q^3=\frac{729}{1000}$；至少一人获二等奖 $p+2pq-2p^{2}q=\frac{131}{500}$；甲一次乙两次别混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自放回摸球概率，独立试验与互斥事件

结论推广: “至少”结构用容斥推广到多人多次抽奖

方法推广: 分清二等奖（恰一红）与一等奖（两红）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-18 解-独立事件与互斥分类
• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率