2003-辽宁卷-20 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题核心考查离散型随机变量的分布列及数学期望的计算。解题关键在于理解两队总得分的对偶关系（两队总分之和恒为定值），通过独立事件的概率乘法公式分别算出 $A$ 队各得分情况的概率，列出分布列，再利用期望公式求解。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） $A 、 B$ 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员， $A$ 队队员是 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ， $B$ 队队员是 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表：

对阵队员 $A$ 队队员胜的概率 $A$ 队队员负的概率
$A_{1}$ 对 $B_{1}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{3}$
$A_{2}$ 对 $B_{2}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$
$A_{3}$ 对 $B_{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$

现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 $A$ 队、 $B$ 队最后所得总分分别为 $ξ 、 η$ .

(1) 求 $ξ 、 η$ 的概率分布；

(2) 求 $E ξ, E η$ .

对阵队员	$A$ 队队员胜的概率	$A$ 队队员负的概率
$A_{1}$ 对 $B_{1}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
$A_{2}$ 对 $B_{2}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{5}$
$A_{3}$ 对 $B_{3}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

理清变量取值与对偶关系：比赛共进行 3 场，每场必然分出胜负且胜者得 1 分。因此 $A$ 队总分 $ξ$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$ 。由于每场比赛总分固定为 1 分， 3 场总得分恒满足关系式 $ξ + η = 3$ ，由此可通过 $ξ$ 的分布列直接对偶求出 $η$ 的分布列及期望。

计算单场概率：记 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 获胜的事件分别为 $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ ，其概率分别为 $P (M_{1}) = \frac{2}{3}$ ， $P (M_{2}) = \frac{2}{5}$ ， $P (M_{3}) = \frac{2}{5}$ 。

分类求概率：

$ξ = 0$ ：三场全负。

$ξ = 1$ ：恰胜一场，分为三种互斥情况（赢第一场、赢第二场、赢第三场）。

$ξ = 2$ ：恰胜两场，同样分为三种互斥情况（输第一场、输第二场、输第三场）。

$ξ = 3$ ：三场全胜。

求解数学期望：代入公式 $E ξ = \sum x_{i} p_{i}$ 计算，再利用 $E η = 3 - E ξ$ 快速解出 $B$ 队期望。

✅【答案】

Success

(1) $ξ$ 的分布列： $P (ξ = 0) = \frac{3}{25}$ ， $P (ξ = 1) = \frac{2}{5}$ ， $P (ξ = 2) = \frac{28}{75}$ ， $P (ξ = 3) = \frac{8}{75}$ ； $η = 3 - ξ$ ，对应概率 $\frac{8}{75}, \frac{28}{75}, \frac{2}{5}, \frac{3}{25}$

(2) $E ξ = \frac{22}{15}$ ， $E η = \frac{23}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $ξ 、 η$ 的概率分布

由题意，比赛共 3 场， $A$ 队所得总分 $ξ$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$ 。各场比赛相互独立，分别计算 $ξ$ 取各值时的概率：

当 $ξ = 0$ 时（ $A$ 队三场全负）： $P (ξ = 0) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{75} = \frac{3}{25}$

当 $ξ = 1$ 时（ $A$ 队恰胜一场）： $P (ξ = 1) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}$ $P (ξ = 1) = \frac{18}{75} + \frac{6}{75} + \frac{6}{75} = \frac{30}{75} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

当 $ξ = 2$ 时（ $A$ 队恰胜两场）： $P (ξ = 2) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5}$ $P (ξ = 2) = \frac{4}{75} + \frac{12}{75} + \frac{12}{75} = \frac{28}{75}$

当 $ξ = 3$ 时（ $A$ 队三场全胜）： $P (ξ = 3) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{75}$

为了便于统一对照和验证，将概率的分母统一化为 75（确保 $\sum P = \frac{9 + 30 + 28 + 8}{75} = 1$ ）。 $A$ 队总分 $ξ$ 的概率分布列为：

$ξ$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P$ $\frac{9}{75}$ $\frac{30}{75}$ $\frac{28}{75}$ $\frac{8}{75}$

由于每场比赛必有 1 队得 1 分、 1 队得 0 分，因而两队最后所得总分之和恒为 3，即： $η = 3 - ξ$

由此可直接得出 $B$ 队总分 $η$ 的可能取值也为 $0, 1, 2, 3$ ，对应的对偶映射概率为：

$P (η = 0) = P (ξ = 3) = \frac{8}{75}$

$P (η = 1) = P (ξ = 2) = \frac{28}{75}$

$P (η = 2) = P (ξ = 1) = \frac{30}{75}$

$P (η = 3) = P (ξ = 0) = \frac{9}{75}$

$B$ 队总分 $η$ 的概率分布列为：

$η$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P$ $\frac{8}{75}$ $\frac{28}{75}$ $\frac{30}{75}$ $\frac{9}{75}$

(2) 求 $E ξ, E η$

方法一：直接利用期望公式计算 根据离散型随机变量数学期望的定义，计算 $A$ 队的得分期望 $E ξ$ ： $E ξ = 0 \times \frac{9}{75} + 1 \times \frac{30}{75} + 2 \times \frac{28}{75} + 3 \times \frac{8}{75}$ $E ξ = \frac{0 + 30 + 56 + 24}{75} = \frac{110}{75} = \frac{22}{15}$

同理，计算 $B$ 队的得分期望 $E η$ ： $E η = 0 \times \frac{8}{75} + 1 \times \frac{28}{75} + 2 \times \frac{30}{75} + 3 \times \frac{9}{75}$ $E η = \frac{0 + 28 + 60 + 27}{75} = \frac{115}{75} = \frac{23}{15}$

方法二：利用期望的线性性质简化计算（推荐） 由于 $ξ + η = 3$ 恒成立，根据数学期望的线性运算法则，有： $E η = E (3 - ξ) = 3 - E ξ$ 已知 $E ξ = \frac{22}{15}$ ，直接代入求得： $E η = 3 - \frac{22}{15} = \frac{45 - 22}{15} = \frac{23}{15}$

答： $A$ 队总得分的数学期望 $E ξ = \frac{22}{15}$ ， $B$ 队总得分的数学期望 $E η = \frac{23}{15}$ .

$ξ$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{9}{75}$	$\frac{30}{75}$	$\frac{28}{75}$	$\frac{8}{75}$

$η$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{8}{75}$	$\frac{28}{75}$	$\frac{30}{75}$	$\frac{9}{75}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多情况独立事件交并性质的概率化简，离散随机变量分布列的规范书写，数学期望的性质 $E (a X + b) = a E X + b$ 。

核心方法：对偶代换法。利用 $η = 3 - ξ$ 建立联系，可使第二问的计算量直接减半。

避坑指南：

求解 $ξ = 1$ 或 $ξ = 2$ 时，极易因粗心漏掉三种互斥组合中的某一种，必须按照“赢-输-输”、“输-赢-输”、“输-输-赢”的严格顺序穷举。

分布列求出后，切记口算一下所有概率之和是否等于 1（ $\sum P_{i} = 1$ ），这是检验中间计算是否发生失误的最有效手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于概率与统计解答题中的必考中档常规题，主要考查教材中关于“离散型随机变量分布列与期望”核心板块的综合计算能力。

结论推广: 本题中各场比赛的获胜概率互不相同。在更一般的情况中，若进行 $n$ 场对抗赛，每场 $A$ 队获胜的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ 。虽然此时 $A$ 队总分 $ξ$ 不再服从二项分布，但由于期望具有完全可加性（无需事件相互独立也恒成立）， $A$ 队总得分的期望可直接表示为各场获胜概率的代数和： $E ξ = \sum_{i = 1}^{n} p_{i}$ 验证本题： $E ξ = \frac{2}{3} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{15} + \frac{6}{15} + \frac{6}{15} = \frac{22}{15}$ 。利用该期望推广通式，可在完全不列分布列的情况下，直接秒杀第二问的期望结果。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

2013-浙江卷理-19 解-分布列

2006-江西文-18 解-摸球中奖概率

2013-湖北卷理-09 单-数学期望

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