2004-全国卷IV文-20 解-独立事件概率

本题导读

本题考查独立事件的概率。核心在于按”答对哪几题”分类并利用独立性相乘。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 某同学参加科普知识竞赛，需回答 $3$ 个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得 $100$ 分、$100$ 分、$200$ 分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 $0.8$、$0.7$、$0.6$，且各题答对与否相互之间没有影响.

(1) 求这名同学得 $300$ 分的概率；

(2) 求这名同学至少得 $300$ 分的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 得 $300$ 分：对第 1、3 题错第 2，或错第 1 对第 2、3。
2. 每情形概率相乘再相加。
3. 至少 $300$ 分再补”三题全对”。

✅【答案】

Success

(1) $0.228$

(2) $0.564$

✍【详细解析】

Abstract

（1）得 $300$ 分有两种互斥情形：第一、三题答对而第二题答错，或第一题答错而第二、三题答对。故概率为 $0.8\times 0.3\times 0.6+0.2\times 0.7\times 0.6=0.144+0.084=0.228$. （2）至少得 $300$ 分有三种互斥情形：三题全对、第一三题对而第二错、第一错而第二三对。故概率为 $0.8\times 0.7\times 0.6+0.8\times 0.3\times 0.6+0.2\times 0.7\times 0.6=0.336+0.144+0.084=0.564$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件概率
2. 核心方法：（1）$0.8\times 0.3\times 0.6+0.2\times 0.7\times 0.6=0.228$；（2）$0.8\times 0.7\times 0.6+0.144+0.084=0.564$
3. 避坑指南：得 300 分只有”对第1、3题错第2”或”错第1对第2、3”两情形；至少 300 分再补”三题全对”

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于独立事件概率，教材”概率”
2. 结论推广: 一般化：独立事件的并/特定得分情形分类相加；按”对哪几题”分类，每类概率是各题概率的乘积，再相加

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-18 解-相互独立事件概率
• 2006-四川文-19 解-独立事件概率
• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率