2001-新课标卷文-19 解-独立事件概率

本题导读

本题考查相互独立事件同时发生的概率，以及对立事件的运用。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 如图，用 $A$，$B$，$C$ 三类不同的元件连接成两个系统 $N_1$，$N_2$.当元件 $A$，$B$，$C$ 都正常工作时，系统 $N_1$ 正常工作；当元件 $A$ 正常工作且元件 $B$，$C$ 至少有一个正常工作时，系统 $N_2$ 正常工作.已知元件 $A$，$B$，$C$ 正常工作的概率依次为 $0.80$，$0.90$，$0.90$.

(1) 求系统 $N_1$ 正常工作的概率 $P_1$；

(2) 求系统 $N_2$ 正常工作的概率 $P_2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $N_1$ 正常工作即 $A,B,C$ 都正常，用独立事件乘积。
2. $N_2$ 用「$B,C$ 至少一个正常」的对立事件。

✅【答案】

Success

(1) $P_1=0.648$

(2) $P_2=0.792$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由各元件正常工作相互独立，$P_1=0.80\times 0.90\times 0.90=0.648$，故系统 $N_1$ 正常工作的概率为 $0.648$． （2）「$B,C$ 至少有一个正常」的对立事件是「$B,C$ 都不正常」，其概率为 $(1-0.90)\times (1-0.90)=0.01$，故 $B,C$ 至少一个正常的概率为 $1-0.01=0.99$．于是 $P_2=0.80\times 0.99=0.792$，即系统 $N_2$ 正常工作的概率为 $0.792$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率

核心方法：$P_1=0.80\times 0.90\times 0.90=0.648$；$P_2=0.80\times [1-(1-0.90{)}^2]=0.792$

避坑指南：相互独立事件乘积，$N_2$ 用「$B,C$ 至少一个」的对立事件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材相互独立事件

结论推广：一般地，独立事件同时发生概率为各概率之积

方法推广：独立乘积 + 对立事件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-20 解-独立事件概率
• 2003-河南卷-18 解-独立事件概率
• 2004-全国卷IV文-20 解-独立事件概率