2004-湖北理-21 解-相互独立事件的概率乘法公式

本题导读

本题考查离散型随机变量的数学期望。核心在于分类讨论参数核算法、期望控制决策法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 $0.3$；一旦发生，将造成 $400$ 万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 $45$ 万元和 $30$ 万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别是 $0.9$ 和 $0.85$.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. 注：总费用 = 采取预防措施的费用 + 发生突发事件损失的期望值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（拆解可选决策空间）：根据题意，可选的预防方案共有 4 种独立不重叠的情形：
   • 方案一：不采取任何预防措施。
   • 方案二：单独采用甲预防措施。
   • 方案三：单独采用乙预防措施。
   • 方案四：联合采用甲、乙两种预防措施。
2. 第二步逻辑（核算各方案的总费用）：
   • 依据给定的公式：总费用 $W=\text{预防费用}+400\times P_{\text{发生}}$。
   • 在联合采用时，由于两措施相互独立，“不发生”意味着甲、乙两措施同时起效，根据独立事件乘法公式算得联合不发生的概率，进而求出联合发生的概率。
3. 第三步逻辑（数值优选）：顺次精确算出 4 种情形下的具体总费用金额，选出数值最小的方案作为最终结论。

✅【答案】

Success

应确定单独采用甲预防措施的方案，能使总费用最少（最少费用为 85 万元）

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，我们需要分别核算 4 种可选方案对应的总费用。

• 情形一：不采取任何预防措施： 此时采取预防措施的费用为 0 万元。 突发事件发生的概率为 $P_1=0.3$。 发生突发事件损失的期望值为： $E_1=400\times 0.3=120\text{ 万元}$ 则总费用为： $W_1=0+120=120\text{ 万元}\text{（式1）}$

• 情形二：单独采用甲预防措施： 此时采取预防措施的费用为 $45$ 万元。 已知单独采用甲后，突发事件不发生的概率为 $0.9$，则其发生的概率为： $P_2=1-0.9=0.1$ 发生突发事件损失的期望值为： $E_2=400\times 0.1=40\text{ 万元}$ 则总费用为： $W_2=45+40=85\text{ 万元}\text{（式2）}$

• 情形三：单独采用乙预防措施： 此时采取预防措施的费用为 $30$ 万元。 已知单独采用乙后，突发事件不发生的概率为 $0.85$，则其发生的概率为： $P_3=1-0.85=0.15$ 发生突发事件损失的期望值为： $E_3=400\times 0.15=60\text{ 万元}$ 则总费用为： $W_3=30+60=90\text{ 万元}\text{（式3）}$

• 情形四：联合采用甲、乙两种预防措施： 此时采取预防措施的总费用为两措施费用之和： $\text{费用}=45+30=75\text{ 万元}$ 因为甲、乙两种预防措施相互独立，联合采用时，此突发事件不发生当且仅当甲、乙两措施同时起效。根据相互独立事件的乘法公式，不发生的概率为： $P_{\text{不发生}}=0.9\times 0.85=0.765$ 则联合采用后，此突发事件发生的概率为： $P_4=1-0.765=0.235$ 发生突发事件损失的期望值为： $E_4=400\times 0.235=94\text{ 万元}$ 则总费用为： $W_4=75+94=169\text{ 万元}\text{（式4）}$

• 比对最优化方案： 比对上述四种情形下的总费用（式1、式2、式3、式4）： $W_2(85\text{万元})<W_3(90\text{万元})<W_1(120\text{万元})<W_4(169\text{万元})$ 显见，单独采用甲预防措施时总费用最少。

答：应确定单独采用甲预防措施的方案，能使总费用最少（最少费用为 85 万元）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量均值（期望）的实际表征；相互独立事件同时发生的乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B)$；全称对立事件的概率转换。
2. 核心方法：分类核算比对法。
3. 避坑指南：
   • 在计算联合方案时出现“常识性错觉”：部分学生想当然地认为，既然联合采用两种措施，那么不发生的概率一定会变得更高，甚至出现直接相加导致大于 1 的荒谬计算。请记住：联合采用两种独立设备去防范风险时，其系统不发生的概率是单设备不发生概率的“乘积”，而非叠加。由 $0.9\times 0.85=0.765$ 可以看出，联合不发生的概率为 $76.5\%$，反而比单独采用甲的 $90\%$ 变低了，这是由于两套独立防线可能存在系统耦合失效冲突，因此发生概率回升至 $23.5\%$，加上高昂的预防投资双重重叠，导致其总期望费用高达 169 万元，属于最差决策。在计算该步时务必保持代数清醒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是经典的高考概率统计在经济学风险规避（Risk Aversion）与运筹学精算优化中的综合应用解答题。
2. 结论推广: 比较不同方案的优劣，可分别计算各方案的期望值（成本或收益的加权平均），取期望最优者。多个独立事件同时发生的概率等于各事件概率的乘积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-20 解-独立事件概率
• 2005-福建卷文-18 解-独立重复试验与期望
• 2006-四川文-19 解-独立事件概率