2005-上海卷文-03 填-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域与线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 若 $x$，$y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽3,\\ y⩽2x,\end{array}$ 则 $z=3x+4y$ 的最大值是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画可行域：顶点 $(0,0)$、$(1,2)$、$(3,0)$。
2. $z(0,0)=0$，$z(1,2)=11$，$z(3,0)=9$，最大值 $11$。

✅【答案】

Success

$11$

✍【详细解析】

Abstract

可行域由 $x+y⩽3$、$y⩽2x$ 围成，顶点为 $(0,0)$、$(1,2)$（直线 $y=2x$ 与 $x+y=3$ 的交点）、$(3,0)$． 将各顶点代入 $z=3x+4y$：$z(0,0)=0$，$z(1,2)=3+8=11$，$z(3,0)=9$． 故最大值为 $11$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最值

核心方法：画可行域取顶点代入 $z=3x+4y$ 比较得最大值

避坑指南：约束 $y⩽2x$ 隐含 $x⩾0$，漏掉原点或误取边界中点都易错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划起源于二战运筹学资源分配问题

结论推广：目标函数在顶点取最值对线性目标恒成立（可行域凸性）

方法推广：顶点代入法是线性规划的通法，图解三步：画域、平移、读值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-03 单-线性规划最值
• 2018-全国卷II文-14 填-线性规划