本题导读
本题考查简单的线性规划问题。核心在于图解法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2004年江苏卷） 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100% 和 50%，可能的最大亏损率分别为 30% 和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一步逻辑（设立变量与约束方程）：设投资人对甲、乙两个项目分别投资 万元和 万元。
- 非负约束：资金投入不能为负，即 。
- 总金额约束：总投资不超过 10 万元，即 ．
- 亏损额约束：最大亏损额不超过 1.8 万元。甲的最大亏损率为 30%，乙的最大亏损率为 10%，则对应不等式为 。
- 第二步逻辑（构建目标函数）：最终目标是使可能的盈利最大。甲、乙可能的最大盈利率分别为 100% 和 50%，设最大可能盈利为 万元，则目标函数为 。
- 第三步逻辑（作图求解）：在平面直角坐标系中画出由上述四个不等式围成的凸多边形封闭区域（可行域）。将目标函数转化为斜截式直线方程 ，通过平移直线寻找在可行域内的最高纵截距截断点，该顶点即为最优解。
✅【答案】
Success
投资人对甲项目投资 4 万元，对乙项目投资 6 万元，才能使可能的盈利最大，最大盈利为 7 万元
✍【详细解析】
Abstract
- 建立数学模型 设投资人对甲项目投资 万元，对乙项目投资 万元． 根据题意，投资金额与可能的亏损额必须受到刚性条件的限制，可列出二元一次不等式组：
设投资人可能获得的最大盈利为 万元，根据甲、乙最大盈利率，构建目标函数： 问题转化为：求未知数 在满足不等式组（式1）所表示的平面区域内时，目标函数（式2） 的最大值．
- 绘制可行域并确定关键顶点 在平面直角坐标系 中，由（式1）围成的可行域是一个以原点为左下角的封闭凸四边形区域。
求解该几何区域的各个边界顶点坐标：
- 顶点 （原点）：
- 轴截距点 ：令 中 ，得到 ；
- 轴截距点 ：令 中 ，得到 ；
- 交点 ：联立直线 与 的方程以求解核心交点： 两式相减可得： 。 将 代入第一个方程中可得： 。 由此锁定交点坐标为： 。
综上，可行域的四个顶点分别为 ．
- 平移求取最优解 将目标函数（式2）等等价变形为标准的斜截式直线系方程： 这意味着，在特定的最大化利益 下，直线系的斜率恒定为 ，而其在 轴上的纵截距为 ．为了让 最大，只需让该平移直线在可行域内向右上平行移动时，其 轴截距达到最高顶峰。
对比可行域边界直线的斜率：
- 边界 ；
- 边界 ． 由于 ，平移直线 的倾斜程度严格介于边界线 与 之间。
当该直线系在可行域内向上平移时，最后一个离开可行域的临界几何几何栖息点必然是直线 与 的核心凸交点 。 将点 的坐标代入目标函数（式2）中计算最大值 ：
答：投资人对甲项目投资 4 万元，对乙项目投资 6 万元，才能使可能的盈利最大，最大盈利为 7 万元．
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：根据实际背景建立二元一次不等式组（线性规划模型）；可行域凸多边形边界顶点的精确联立求解；利用目标函数斜率平移判定最优解。
- 核心方法：图解线性规划法。
- 避坑指南：
- 在列亏损约束方程时极其容易产生小数点位置笔误：例如错把 写成了 或者是 。请牢记实际应用题代数规约铁律：百分比化简时，两边必须同时乘以 10 或者是 100 进行整数化消元，即 ，通过一次性化为标准整数系数，可确保后续联立交点时绝对不发生低级算术翻车。
- 在无法精准绘图确定哪个顶点最优时，最稳妥的保底策略是将求出来的所有顶点 的坐标，顺次逐一单点代入目标函数 中进行数值大小排队比对：
- ；
- ；
- 。 通过肉眼比对 ，同样能严密锁定点 为唯一最优解。这一代数核验法在考场上具有极高的容错率。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题出处为高中数学教材“简单的线性规划问题”章节末尾的标准实际优化应用题，是高考考查数学建模基本功及不等式区域求解最标准的经典中档大题。
- 结论推广: 线性规划问题的最优解必在可行域（由约束不等式围成的多边形区域）的顶点处取得，故只需比较各顶点处的目标函数值。
🔗【关联脉络】
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