本题导读
本题考查简单的线性规划问题，以及目标函数的最值求解。
📌【题干】
Question
（2004年全国卷IV(理)） 设 满足约束条件: ，则 的最大值是 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 绘制可行域：在直角坐标系中，依次画出三条边界直线 、 、 （即 轴），并根据不等号的方向判断出公共围成的封闭图形区域（可行域）。
- 分析目标函数的几何意义：将目标函数 变形为斜截式直线方程： 。该直线的斜率恒为 ，其在 轴上的截距就是 的值。因此，求 的最大值等价于让直线在保持斜率不变的前提下向上平移，寻找其与可行域有公共点时在 轴上截距的最大临界位置。
- 锁定最优解顶点：由于可行域为凸多边形区域，线性规划的最值必然在可行域的几何顶点处取得。求出所有顶点的坐标，直接代入目标函数进行数值大小比较即可。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
解：
第一步：作图画出可行域 在平面直角坐标系中，依次作各不等式边界线对应的直线：
直线 ，其交坐标轴于点 和 。
直线 ，是一条过原点的第一、三象限平分线。
直线 ，即整个 轴。
根据不等式组的符号约束：
- 表示在直线 的左下方；
- 表示在直线 的右下方；
- 表示在 轴及其上方。 这三条线共同围成一个三角形封闭区域（包含边界线），即为可行域。
第二步：求出该可行域三角形的三个顶点坐标
- 顶点 A（原点）：由 与 联立，解得 。
- 顶点 B：由 与 联立，解得 。
- 顶点 C：由 与 联立，求解方程组： 解得 。
第三步：平移目标函数（或代入顶点）求最值 将目标函数变形为直线系方程： 。 由于该直线斜率为 ，随 值的增大，直线向右上方平移。 观察图象几何形态，当直线平行移动经过三角形外侧的顶点 时，直线在 轴上的截距 达到最大值。
我们直接采用顶点价值数代入法进行最终核验：
- 将 代入目标函数：
- 将 代入目标函数：
- 将 代入目标函数：
对比各顶点的函数值： 。 所以， 的最大值为 2。
答：2
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：二元一次不等式组围成的几何区域判定、目标函数的直线截距式物理意义。
- 核心方法：数形结合图解法、交点联立顶点代入法。
- 避坑指南：
- 画线确定区域时，千万不能错判不等号的方向。例如 的有效区域位于直线的下方而不是上方，区域一旦选错，对应的交点和最大值将完全偏离。在不确定时，可以通过取特定测试点（如取 代入各项不等式）进行快速符号核准。
- 目标函数转化时注意变号， ，其截距项符号为正，所以 的极大化与截距的极大化方向完全一致。如果目标函数写成 ，由于 前面带负号，截距越小 反而越大，此时平移方向会完全相反。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 经典高中解析几何中关于初等线性规划的标准必考填空题。
- 结论推广: 在线性约束围成的凸多边形可行域内，线性目标函数 的最值必在可行域的某个顶点处取得。因此只需求出各顶点坐标并逐个代入比较即可。
🔗【关联脉络】
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